差項(xiàng)求和的模式分析

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，也是研究模式和秩序的科學(xué).著名數(shù)學(xué)家徐利治先生指出，“無論數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問題和方法，事實(shí)上都應(yīng)該被看成是一種具有普遍意義的模式”.因此，從某種意義上來講，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，就是學(xué)習(xí)如何抽象概括，學(xué)習(xí)研究模式如何形成的過程.人們?cè)诮忸}的過程中總結(jié)了許多行之有效的方法，這些方法有其內(nèi)在的規(guī)律，對(duì)這些規(guī)律進(jìn)行研究，抽象出形式結(jié)構(gòu)即模式，對(duì)誘導(dǎo)思維，啟迪智慧，提高分析問題和解決問題的能力十分有益.本文試就數(shù)列求和的重要方法——差項(xiàng)求和，提供一個(gè)模式分析的案例.

1. 模式的探求

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列且公差為d，則有an-an-1 = d(n ≥ 2，n∈N+)，由此可以得到 (an - an-1) = (n - 1)d.(1)

整理得:an = a1 + (n - 1)d即為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.由于求解的關(guān)鍵(1)式左端是差的求和式.所以，這種推導(dǎo)通項(xiàng)公式的方法叫差項(xiàng)求和.若對(duì)其進(jìn)一步抽象并用符號(hào)表示，就能對(duì)差項(xiàng)求和有更深一層的理解.

令bn = an+1 - an，n∈N+，顯然數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn是可求的.

即Sn =bn =(ak+1 - ak) = an+1 - a1，得到:

結(jié)論一 設(shè)數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和為Sn，若bn = an + 1 - an，則Sn = an+1 - a1.

結(jié)論二 設(shè)數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和為Sn，若bn = an - cn且數(shù)列{an}#65380;{cn} 的前n項(xiàng)和分別為s ，s ，則Sn = s- s .

至此，我們抽象出兩個(gè)基本的數(shù)學(xué)模式，差項(xiàng)求和的應(yīng)用前景也凸顯出來了.

2. 模式的應(yīng)用

反思以上過程，我們發(fā)現(xiàn)，差項(xiàng)求和法有兩點(diǎn)基本應(yīng)用:①求數(shù)列的通項(xiàng)公式.②求數(shù)列的前n項(xiàng)和，而應(yīng)用的關(guān)鍵是構(gòu)造差式.

例 1 問是否存在常數(shù)a，b，c使得等式1 × 22 + 2 × 23 + …+ n(n + 1)2 =對(duì)一切正整數(shù)n都成立.并證明你的結(jié)論.

分析 觀察題形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有多種思路可選擇.

思路1 賦于n特殊值1，2，3求出a，b，c，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

思路2 從左端通項(xiàng)an = n(n + 1)2 = n3 + 2n2 = n入手并應(yīng)用以下結(jié)論:

13 + 23 + … + n3 =2;

13 + 23 + … + n3 =，1 + 2 + … + n =.

以上兩種思路都可使問題得到解決.若用差項(xiàng)求和模式求解，將an = n(n + 1)2恰當(dāng)分裂為兩項(xiàng)的差是變形的難點(diǎn).注意到an = n(n + 1)2 = n(n + 1)(n + 1)，而n與n + 1是連續(xù)正整數(shù)，于是有了將另一個(gè)因式變?yōu)閚 + 1化為(n + 2) - 1形式的想法.

an = n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1) = 3!C- 2!C.

證明 左端 = 1 × 22 + 2 × 23 + …+ n(n+1)2 =

3!(C + C+ … + C) - 2!(C + C+ … + C) =

6C - 2C =.

故存在a = 3，b = 11，c = 10 使等式成立，從而問題得解.

變式1 求和s = 1 × 2 × 3 ×… #8226;k2 + 2 × 3 × 4 ×…#8226; (k + 1)2 + … + n(n + 1) #8226;…#8226; (n + k - 1)2 .

思路1 思路2難以施行，而差項(xiàng)求和法的妙用彰顯出來.

仿上得:an = (k+1)!C - k!C，于是有

s = (k + 1)!C - k!C.

變式2 求和s = 1 × 2 × 3 ×… #8226;2k + 2 × 3 × 4 ×…#8226; (k + 1) + … + n(n + 1) #8226;…#8226;(n + k - 1).

觀察發(fā)現(xiàn)，和式中各項(xiàng)都是k個(gè)自然數(shù)連乘積的形式，而任意相鄰兩項(xiàng)中都含有k - 1個(gè)相同的因數(shù)，從這一特點(diǎn)入手是解決問題的一個(gè)很好的切入點(diǎn).

若令ai = i(i + 1)#8226;…#8226;(i + k - 1)變形得到:

ai = [iai+1 - (i + k - 1)ai-1] =[i(i + 1)#8226;…#8226;(i + k) - (i - 1)i#8226;…#8226;(i + k - 1)].

于是s =ai = [i(i + 1)#8226;…#8226;(i + k) - (i - 1)i#8226;…#8226;(i + k - 1)] = = k!C. 對(duì)例1左端一般化或簡(jiǎn)單變化，得到兩個(gè)相關(guān)命題，它是數(shù)學(xué)求解過程中值得重視的學(xué)習(xí)方法，對(duì)發(fā)現(xiàn)問題#65380;提出問題#65380;解決問題思想意識(shí)的培養(yǎng)十分有益.

3. 模式的延伸拓展

裴波那契數(shù)列產(chǎn)生于以下原型.

若每對(duì)成年兔子一個(gè)月可以生一對(duì)兔子，并且兔子在出生兩個(gè)月后就具有生殖后代的能力.問從一對(duì)小兔子開始，一年后可以繁殖多少對(duì)兔子? 歸結(jié)為:

例 2 已知:數(shù)列{an}中，a1 = a2 = 1，an = an-1 + an-2(n∈N+，n≥3)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

設(shè)想應(yīng)用待定系數(shù)法，構(gòu)造差式轉(zhuǎn)化為較熟悉的差項(xiàng)求和法來解決.

解 設(shè)an - xan-1 = y(an-1 - xan-2).(1)

則x + y = 1，xy = -1.∴x =，y =或x =，y =.

取x，y的前一組值代入(1)得:

an -an-1 = an-1 -an-2(n≥3，n∈N+).

顯然，數(shù)列an -an-1(n≥2，n∈N)是首項(xiàng)為a2 -a1=，公比為 的等比數(shù)列. ∴ an -an-1 =n-1. (2)

(2)式左端雖是差，但難以直接利用求和來求出其通項(xiàng)公式.影響求和的關(guān)鍵是an-1的系數(shù)為-.若取n = 2，3，4，5等系列值，觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)(2)式兩邊同時(shí)乘以- n-2，然后求和并整理得:

(-1)n-2 #8226; n-2 an =

2 - (-1)n-2#8226; 2n-2.

∴an = n -n(n∈N+). 這樣，我們創(chuàng)造性地應(yīng)用“差項(xiàng)求和”的解題模式，使問題得以順利解決.但其求解過程顯得繁瑣，x，y的值只應(yīng)用了一組.若另一組值也加以應(yīng)用能否簡(jiǎn)化運(yùn)算呢?將后一組x，y的值代入(1) 易得:

an -an-1 =n-1.(3)

由(2)與(3)消去an得:

an-1 =n-1-n-1.

∴ an-1 = n-1 -n-1(n≥2，n∈N).

故an = n -n (n∈N+).

顯然，后一種方法相對(duì)于前一種方法要簡(jiǎn)捷得多.

觀察:an = an-1 + an-2(n≥3，n∈N+)與an - xan-1 = y(an-1 - xan-2).

對(duì)形如an = Aan-1 + Ban-2(A，B≠0a1 = a，a2 = b)的遞推公式，要求其通項(xiàng)公式，利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為差項(xiàng)求和模式是一個(gè)很好的選擇.

而對(duì)an -an-1 =n-1的一般化，則有對(duì)形如:an = can-1 + f(n) (c≠0)，a1 = a(n≥2，n∈N+). 其中{f(n)}為等差或等比數(shù)列，由遞推公式求其通項(xiàng)公式，應(yīng)用差項(xiàng)求和法或待定系數(shù)法，也是可供借鑒的思路.

數(shù)學(xué)是一門有生命的學(xué)科，它尋求遍及我們周圍物質(zhì)世界以及我們思想中的各種模式并研究這些模式.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中人們總結(jié)出了許多方法，這些方法常常以冰冷的面目呈現(xiàn)出來，而對(duì)方法模式化的火熱思考過程才是啟迪思維#65380;誘導(dǎo)智慧的精華所在.差項(xiàng)求和的模式研究充分說明了這一點(diǎn).

【參考文獻(xiàn)】

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注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”