例談區域法解圓錐曲線問題

我們知道圓把一個平面分成三個部分:圓內，圓上和圓外. 判斷的方法一種是看點到圓心的距離，另外一種是把點的坐標代進方程去，從所得值與半徑的大小關系來確定點與圓的位置關系. 事實上從圖形直觀上我們也可以看到，一般的圓錐曲線也把坐標平面分成三個部分，如果用圓錐曲線分平面三個區域來解題，特別是有些求范圍的問題，可以大大簡化解題過程.

例1 試確定m的取值范圍，使對直線y = 4x + m，在橢圓+ = 1上有不同兩點A，B關于該直線對稱.

分析 這個題目按照常規方法可以解出來，但是計算量較大，如果用圓錐曲線表示區域來解就簡單得多，A和B都在橢圓上，那么AB的中點在橢圓的內部，因此我們關鍵是用m來表示AB的中點，然后再帶入橢圓的方程得到不等式解出來就可以了.

解 設AB的中點P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

因為A與B關于直線y = 4x + m對稱，

故可設AB的方程為y = - x + b.

則y = - x + b，+ = 1.

可得13x2 - 8bx + 16b2 - 48 = 0，

故x0 = =.

又因為P點既在AB上又在已知的直線上，

故y0 = 4x0 + m或者y0=- x0 + b，

即+ m = -+ b，

所以 b = - m，故x0 = -m，y0 = -3m.

又因為P點在橢圓的內部，所以有

+ = + < 1.

故 -< m <.

另解 設AB的中點P(x0，y0)，由橢圓的性質知橢圓+ = 1關于P點對稱的曲線為+ = 1. 兩式相減整理得公共弦方程:

2x0x + 4y0y - 3x02 - 4y02 = 0. 而公共弦的斜率為- ，故有k = -= - ，即y0 = 3x0 .

又P 在直線y = 4x + m上，有y0 = 4x0 + m，由此兩方程求得x0 = -m，y0 = -3m.

而P在該橢圓的內部，故有+= +< 1，故-< m <.

上述兩種方法都是用的點與橢圓位置關系來解答的，解答過程都比較簡單，計算量也比較小，比起常規的用韋達定理加二次方程判別式法解答要簡單得多.

回頭看看用點與圓錐曲線的位置關系來解答這種范圍問題大致可分為三步:

第一步，根據已知條件求出點的坐標.

第二步，根據點與圓錐曲線的位置關系列出相關的不等式.

第三步，解不等式得到要求未知量的取值范圍.

例2 (2005年湖北省)設A，B是橢圓3x2 + y2 = λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C，D兩點，確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程.

分析 此題求λ的范圍就可以直接用區域法解，A，B是橢圓上的點，故AB的中點N一定在橢圓的內部，故3#8226;12 + 32 < λ，可以很簡單得到λ > 12，這比用其他方法簡便得多.

例3 (2007年全國高考試題)已知橢圓+ = 1的左，右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交橢圓于B，D兩點，過F2的直線交橢圓于A，C兩點，且AC⊥BD，垂足是P，設點P的坐標為(x0，y0)，求證:+ < 1.

分析 看到這個要證明的結論，如果我們采用區域法，只要能夠說明P點在橢圓的內部則結論就證完了，事實上，P點應該在以F1F2為直徑的圓上，很明顯，該圓位于橢圓的內部，故P點一定在橢圓的內部，所以結論也就成立了.

這種方法對于雙曲線來說不適用，因為當一條直線與雙曲線相交時，兩個交點可能在同一支上，也可能在不同的兩支上，這時它們的中點就可能在雙曲線里面，也可能在外面，這個時候我們就不能用區域的方法來處理它了. 比如2003年高考試題:已知雙曲線方程為x2 - = 1，雙曲線上存在關于直線l:y = kx + 4對稱的兩點，求實數k的取值范圍. 這個題目就不能用區域法解決. 但是對于拋物線確是實用的，因為直線與拋物線相交時，其交點的中點一定在拋物線的內部. 事實上通過分析，我們也可以說明區域法對橢圓和拋物線是實用的，而對雙曲線確無能為力，因為區域法的原理就是用點與曲線的三種位置關系(即曲線上，曲線內，曲線外)來建立不等式的，如果點的位置都不能確定，不等式就無法確定，區域法也就不能用了.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”