初中數學中因式分解方法與技巧

在初中數學思維訓練中，因式分解的試題以及相關聯的試題屢見不鮮，對因式分解掌握的程度直接影響分式#65380;方程等知識的訓練，因此學好因式分解是十分必要的. 關于因式分解的基本方法，數學教材作過專門介紹，這里只介紹幾種典型的常用方法與技巧.

一#65380;裂項法

例1 分解因式:a3b + ab + 30b.(第十一屆“希望杯”全國數學競賽)

解 原式 = b(a3 + a + 30) = b[(a3 + 27) + (a + 3)] =

b[(a + 3)(a2 - 3a + 9) + (a + 3)] =

b(a + 3)(a2 - 3a + 10)

二#65380;添項法

例2 分解因式:x5 + x + 1.(1998年“希望杯”初中數學競賽)

解 原式 = (x5 - x2) + (x2 + x + 1) = x2(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1).

三#65380;雙十字相乘法

例3 分解因式:2x2 - 7xy + 6y2 + 2x - y - 12.(1994年四川省數學競賽)

解 原式 = (2x - 3y)(x - 2y) + 2x - y - 12 = (2x - 3y - 4)(x - 2y + 3).

四#65380;待定系數法

例4 分解因式:x4 - 2x3 - 27x2 - 44x + 7.

解 設原式=(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) =

x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd.

比較同次項系數，得a + c = -2，b + d + ac = -27，ad + bc = -44，bd = 7.

由bd = 7，考慮 b = 1，d = 7有a + c = -2，ac = -35，7a + c = -44.

解得a = -7，c = 5.

所以，原式 = (x2 - 7x + 1)(x2 + 5x + 7).

五#65380;配方法

例5 分解因式:x4 + x2 + 2ax + 1 - a2.(1994年哈爾濱市數學競賽)

解 原式 = x4 + 2x2 + 1 - x2 + 2ax - a2 =

(x2 + 1)2 - (x - a)2 =

(x2 + x + 1 - a)(x2 - x + a + 1).

六#65380;常數換元法

例6 分解因式:x4 + 1987x2 + 1986x + 1987.(1986年江蘇省初中數學競賽題)

解 令1987 = a，

則原式 = x4 + ax2 + (a - 1)x + a =

(x4 - x) + (ax2 + ax + a) =

x(x - 1)(x2 + x + 1) + a(x2 + x + 1) =

(x2 + x + 1)(x2 - x + a) =

(x2 + x + 1)(x2 - x + 1987).

七#65380;相同部分換元

例7 分解因式:(x2 + 7x - 5)(x2 + 7x + 3) - 33. (1993年黑龍江省初中數學競賽)

解 設y = x2 + 7x ，則

原式 = (y - 5)(y + 3) - 33 =

y2 - 2y - 48 = (y - 8)(y + 6) =

(x2 + 7x - 8)(x2 + 7x + 6) =

(x + 8)(x - 1)(x + 6)(x + 1).

八#65380;對稱換元法

例8 分解因式:xy(xy + 1) + (xy + 3) - 2(x + y + ) - (x + y - 1)2.(1998年天津市初二數學競賽)

解 設x + y = a，xy = b，則

原式 = b(b + 1) + (b + 3) - 2(a +) - (a - 1)2 = (b + 2b + 1) - a = (b + 1) - a = (b + 1 + a)(b + 1 - a) = (xy + 1 + x + y)(xy + 1 - x - y) = (x + 1)(y + 1)(x - 1)(y - 1).

九#65380;倒數換元法

例9 分解因式:x4 + x3 - 4x2 + x + 1.(1991年貴州省初中數學競賽)

解 原式 = x2x2 + x - 4 + + =

x2x +2 + x + - 6.

設x + = y，則原式= x2(y2 + y - 6) = x2(y - 2)(y + 3) = x2x + - 2x + + 3= (x - 1)2(x2 + 3x + 1).

十#65380;均值換元法

例10 分解因式:(x2 + 5x + 9)(x2 - 3x + 7) - 3 (4x + 1)2 .(1991年山東省初中數學競賽)

解 設y = = x2 + x + 8.

則原式 = [y + (4x + 1)][y - (4x + 1)] - 3(4x + 1)2 =

y2 - 4(4x + 1)2 = (x2 + x + 8)2 - 4(4x + 1)2 =[(x2 + x + 8) + 2(4x + 1)][(x2 + x + 8) - 2(4x + 1)] = (x2 + 9x + 10)#8226;(x2 - 7x + 6) =(x2 + 9x + 10)(x - 1)(x - 6).

十一#65380;賦值法

例11 分解因式:2x2-7xy + 6y2 + 2x - y - 12.(1992年四川省初中數學競賽)

解 令y = 0，則原式 = 2x2 + 2x - 12 = (x + 3)(2x - 4).

令x = 0，則原式 = (6y2 - y - 12) = (-2y + 3)(-3y - 4).

∴ 原式 = (x - 2y + 3)(2x - 3y - 4).

注:令x = 0，y = 0得到兩個二次三項式，分別分解時，常數項分解要一致.

十二#65380;構造法

例12 已知x5 - 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)，x5 + 1 = (x + 1)(x4 - x3 + x2 - x + 1).試分解:x8 + x6 + x4 + x2 + 1.(第六屆“希望杯”數學競賽)

解 由已知得x8 + x6 + x4 + x2 + 1 =

= =

= =

=

(x4 - x3 + x2 - x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).

十三#65380;利用因式定理法

若f(x) = (x - a)g(x)，當x = a時，則f(a) = 0.

例13 分解因式:4x3 - 31x + 15.(2003年重慶市數學競賽)

解 當x = -3時，原式等于零，所以x = -3時是原多項式的一個因式，因此利用待定系數，得

4x3 - 31x + 15 = (x +3)(4x3 + ax + 5).

利用等式兩邊對應系數相等得a = -12.

所以，原式 = (x + 3)(4x -12x + 5) =

(x + 3)(2x - 1) (2x - 5).

以上提供幾種因式分解的方法僅供參考.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”