關于冪指數求解的方法討論

【摘要】 本文系統(tǒng)地論述了冪指數求導求解的三種方法:對數求導法，分解法，多元復合函數求導法. 根據冪指函數的解的結構，有創(chuàng)新地提出了冪指函數分解法，并利用多元復合函數求導的內容進行了論證和說明.

【關鍵詞】 冪指函數;對數求導法;冪指函數分解法;偏導數求解法;樹狀圖

一#65380;引 言

在大學課本里，通常看到的冪指函數求解都是在對數求導法一節(jié)有所涉及，遇到了冪指函數求解就只能應用對數求導法. 很多同學在做題的時候記不得如何使用對數求導法，以至于無法做對，本文系統(tǒng)地論述了冪指數求解的幾種方法，使得求解冪指函數問題求解的方法多樣化，大大降低了做題的難度.

二#65380;求解冪指函數

冪指函數是指底數指數都會有自變量的表達式的函數，它的形式為y=f(x)g(x)，其中f(x)，g(x)必須為含有x的函數.

對于這種函數，它不屬于初等函數，所以利用傳統(tǒng)的四則運算法則和復合函數的求導法則無法直接求導. 所以需要一種新的方法進行求解. 我們通常見到的是對數求導法，即

1. 對數求導法

若冪指數函數可導，則在求解其函數的時候，最常用的方法為對數求導法，即

y=f(x)g(x)，lny = lnf(x)，lny = g(x)ln(x).

兩邊關于x求導得:

= g(x)lnf(x) + g(x) . (1)

y′ = y(g′(x))lnf(x) + y .

下面的問題就是求解g′(x)與f′(x):

列如y = xx，∵ x′= 1，

∴ 代入①中很容易可以得到y(tǒng)′ = xx(lnx + 1).

但這種方法的缺點是:① y > 0，不然無法取對數，這個在原題中很難發(fā)現并證明;②方法難記，需要根據函數的特點使用，一般情況下用不到或者不能用，很多人記不住. 所以冪指函數的問題在實際的教學過程中非常困難. 除了采用對數求導法，還有沒有其他方法呢?

2. 分解法

我們來分析一下，冪指函數求導的結果.

對于f(x)g(x)， 如果我們把它看成一個冪函數，即把函數f(x)看成一個與x無關的常數，對其進行求導，導數為u(x) = yg′(x)lnf(x). 如果把它看成一個指數函數，即把g(x)看成一個與x無關的常數，對x求導，可得u(x) = g(x)f(x)g(x)-1f′(x).

如果我們將這兩個導數(u(x)，v(x))加在一起，恰好為該冪指函數的導數，即y′ = u(x) + v(x).

也就是說，對于冪指函數，我們可以先把它看成冪函數和指數函數求導的問題來求解，最后將兩個導數加在一起，就可以得到該冪指函數的導數了.

這種方法姑且稱之為分解法. 這種方式看起來跟硬湊結果好像差不多，到底它有沒有理論根據呢?這也就是第三種方法——偏導數求解法.

3. 偏導數求解法

對于偏函數y=f(x)g(x)，利用多元復合函數求導的方法.

令f(x) = u，g(x) = u，

則該函數也就化成了一個二元函數:

y = uv.(2)

現在我們來求解 ，利用樹狀圖分析

(3)

可得:=#8226; + #8226; .

因此，不難得出②和③式可以分別看成u，v的求導兩個中間變量. 實際上我們可以看出:分解法實際上就是偏導數求解法的變異和簡化. 它的理論根據就是把冪指函數利用偏導數求解的方法進行求解.

為了方便理解，舉一個冪指函數求導的例子.

例 求解y = xx-1的導數.

解一(對數求導法):

lny = (x-1)ln x.

兩邊關于x求導，得

= lnx + .

y′ = y(lnx +)= xx-1(lnx +).

解二(分解法):

u(x) = xx-1ln x，v(x) = (x - 1)xx-2，

∴ y′ = u(x) + v(x) = xx-1lnx + (x-1)xx-2.

三#65380;結束語

通過上面的分析，我們不難發(fā)現，可以有多種方法來求解冪指函數問題，在這里我舉出了三種. 本文主要歸納整理了冪指函數的求解，并創(chuàng)新性地給出了分解法以及偏導數求解法. 其中分解法使用起來非常簡潔，與前面的冪函數和指數函數求導內容相符合，具有很強的連貫性，使得它更加容易被人接受.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”