利用范例訓(xùn)練學(xué)生解題思維的一點嘗試

【摘要】 新課標(biāo)要求“數(shù)學(xué)課程應(yīng)在提高學(xué)生的思維水平方面發(fā)揮作用”，當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，應(yīng)重視策略性知識的教學(xué). 對學(xué)生進(jìn)行解題思維策略的傳授和訓(xùn)練，是提高學(xué)生解決問題能力的重要手段. 本文就“范例教學(xué)和解題思維的訓(xùn)練”進(jìn)行簡要的闡述.

【關(guān)鍵詞】 范例;訓(xùn)練;解題思維

“范例教學(xué)”就是根據(jù)好的#65380;特別清楚的#65380;典型的事例進(jìn)行教學(xué)與學(xué)習(xí)，掌握科學(xué)知識和科學(xué)方法，并把科學(xué)的系統(tǒng)性與學(xué)生的主動性統(tǒng)一起來，從而形成了以范例為根本突破口的“范例教學(xué)模式”. 在平時的教學(xué)中，本人利用典型范例，對學(xué)生的解題思維訓(xùn)練進(jìn)行了一點嘗試，以下談?wù)勛约旱淖龇ê透邢?

1. 利用范例訓(xùn)練學(xué)生的解題思維

1.1 明確解題的思維方向

一個待解決的問題，首先要做的是認(rèn)真讀題，準(zhǔn)確理解題意，不被新奇的背景所嚇倒，樹立解題的信心，在此基礎(chǔ)上明確解題思路.

引例已知P，Q是拋物線y2 = 2px(p > 0)上兩點，O是坐標(biāo)原點，且OP⊥OQ，求證:直線PQ恒過一個定點.

分析 此問題相信學(xué)生應(yīng)該不會陌生，多數(shù)教輔資料上都能找到. 解題過程如下:

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由OP⊥OQ，得x1x2 + y1y2 = 0，即

設(shè)PQ方程是x = my + n，由x = my + n，y2 = 2px，得y2-2mpy - 2np = 0.

y1 + y2 = 2mp，y1y2 = -2np，Δ = 4m2p2 + 8np > 0，

所以(my1 + n)(my2 + n) + y1y2 = 0，

即 (m2 + 1)y1y2 + mn(y1 + y2) + n2 = 0，

所以-2n(m2 + 1)p + 2m2np + n2 = 0，n2 - 2np = 0.

而PQ不過原點，n ≠ 0，所以n = 2p，所以直線PQ恒過一個定點(2p，0).

例1 在直角坐標(biāo)系中，已知動點P(x，y)，PM⊥y，垂足為M，點N與點P關(guān)于x對稱，且 #8226;= 4.

(1)求動點P的軌跡W的方程.

(2)若點Q的坐標(biāo)為(2，0)，A，B為軌跡W上的兩個動點，且滿足QA⊥QB，點Q到直線AB的距離為d，求d的最大值.

分析 第(1)問是常規(guī)題，在第(2)問中，條件和引例非常相似，都有兩條互相垂直的弦，垂足都是頂點(引例是拋物線頂點，例1是雙曲線頂點)，引例中PQ必過x軸上定點，那么例1中AB會不會也過x軸上一個定點呢?

(1) (過程略)動點P的軌跡W的方程是:x2 - 2y2 = 4.

(2) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由QA⊥QB，得

(x1 - 2，y1)#8226;(x2 - 2，y2) = 0，

即x1x2 - 2(x1 + x2) + 4 + y1y2 = 0. (*)

設(shè)AB方程是x = my + n，由x = my + n，x2 - 2y2 = 4， 得

(m2 - 2) y2 + 2mny + n2 - 4 = 0.

y1 + y2 = - ，y1y2 =，Δ = 4m2n2 - 4(m2 - 2)(n2 - 4) > 0.

(*)式可化為(my1 + n)(my2 + n) -2(my1 + n + my2 + n) + 4 + y1y2 = 0，即(m2 + 1)y1y2 + m(n - 2)(y1 + y2) + (n - 2)2 = 0.

所以有- + (n - 2)2 = 0.

又n ≠ 2，所以(m2 + 1)(n + 2) + 2m2n + (m2 - 2)(n - 2) = 0，

展開得n = 6.

所以AB方程是x = my + n，即直線AB過定點(6，0)，

所以當(dāng)AB⊥x軸時，Q到直線AB的距離最大值為6 - 2 = 4. 1.2 充分應(yīng)用已知條件，實現(xiàn)條件和結(jié)論的統(tǒng)一

“充分應(yīng)用條件”是解決問題的關(guān)鍵. 解題失敗有許多原因，其中一個就是未能充分利用條件，而實現(xiàn)條件和結(jié)論的統(tǒng)一是解題的根本.

例2 一條斜率為1的直線l與離心率為 的雙曲線- = 1(a > 0，b > 0)交于P，Q兩點，直線l 與y軸交于點R，且 #8226;= -3， = 4 ，求直線 l與雙曲線的方程.

具體分析過程如下:

(1) 條件“直線l的斜率為1”的應(yīng)用:直線l方程可以設(shè)為斜截式y(tǒng) = x + m.

(2) 條件“雙曲線- = 1(a > 0，b > 0)的離心率為”的應(yīng)用:e = =，可得c2 = 3a2，從而b2 = c2 - a2 = 2a2，所以雙曲線方程可化為:- = 1.

(3) 條件“直線l與雙曲線交于P，Q兩點”的應(yīng)用:聯(lián)立y = x + m，- = 1，消去y得2x2 - (x + m)2 = 2a2，即x2 - 2mx - (m2 + 2a2) = 0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1 + x2 = 2m，x1x2 = -m2 - 2a2.

(4)條件“直線l與y軸交于點R”的應(yīng)用:求出R(0，m)

(5) 條件“且 #8226; = -3”的應(yīng)用:且 #8226; = x1x2 + y1y2，從而x1x2 + y1y2 = x1x2 + (x1 + m)(x2 + m) = 2x1x2 + m(x1 + x2) + m2，得m2 - 3a2 = -3.

(6) 條件“= 4 ”的應(yīng)用:= (x2 - x1，y2 - y1)，= (x2，y2 - m)，所以x2 - x1 = 4x2，即x1 = -3x2.

(7) 最后利用這些結(jié)論導(dǎo)出的結(jié)論求出m和a:聯(lián)立方程x1+ x2 = 2m，x1 = -3x2，得x1 = 3m，x2 = -m，代入x1x2 = -m2 - 2a2得 -3m2 = -m2 - 2a2，即m2 = a2.又m2 - 4a2 + 3 = 0，所以a2 = 1，m = ±1， 所以直線l的方程為y = x±1，雙曲線的方程為x2 - = 1.2.幾點感悟

2.1解題思維的訓(xùn)練應(yīng)該滲透于平時的課堂教學(xué)中

教學(xué)中要選那些思路廣闊#65380;解題策略#65380;方法#65380;途徑多的典型例題，以便于對學(xué)生進(jìn)行思維策略的訓(xùn)練. 通過用不同的解題策略#65380;方法和途徑解同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓學(xué)生思路#65380;訓(xùn)練思維的廣闊性，又可以使知識融會貫通#65380;橫向聯(lián)系，從而提高學(xué)生解題的決策能力. 2.2影響解題思維的幾個因素

影響解題思維的因素主要是學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)#65380;認(rèn)知結(jié)構(gòu)及非智力因素，因此，在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)該注重“雙基”教學(xué)，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1] 吳立崗.教學(xué)的原理#65380;模式和活動.南寧:廣西教育出版社.1997.

[2] 吳緒坤.解題教學(xué)與思維策略的訓(xùn)練初探.長春:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2008.(03).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”