函數題的幾類易錯問題

函數題是高考中的重要題型，在高考中占有很大分量，學生在做函數題時出錯也較多，下面我就個人觀點談幾類函數的易錯問題的注意點.

函數題中，如下幾類問題，學生在處理時易出錯，易混淆.

一#65380;注意定義域與有意義的區別

例1 若函數y =的定義域為(-∞，1]，求a的取值范圍.

錯解 由題意知，當x∈(-∞，1]時有1 + 3x + a#8226;9x ≥ 0成立.

又y =2x +x =x +2 -在(-∞，1]是減函數，故當x = 1時 2x +x的最小值為 ，- 2x +x 的最大值為 - ，所以a ≥ - . 剖析 錯解將函數的定義域為(-∞，1]與函數在區間(-∞，1]上有意義混為一談，錯解只能說明函數在區間(-∞，1]上有意義，即(-∞，1]是定義域的一個子集，并不能說明定義域恰好為(-∞，1].

正解 當且僅當x ≤ 1時，1 + 3x + a#8226;9x ≥ 0，

即1 + 3x + a#8226;9x ≥ 0的解集為(-∞，1].

由1 + 3x + a#8226;9x ≥ 0，有2x +x+ a ≥ 0， x ≤(舍去)或x ≥a ≤，

∴ a < 10，即x ≤ log，

令log = 1，得a = - .

二#65380;注意恒成立問題與存在解問題的區別

例2 已知函數f(x) = x2 + x - 2.

(1) 若f(x) > a在[1，3]上有解，求實數a的取值范圍.

(2) 若f(x) > a在[1，3]上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 f(x) > a在[1，3]上有解，只要a < [f(x)]max即可;若 f(x) > a在[1，3]上恒成立，必須 a < [f(x)]min.

(1) 在f(x) = x2 + x - 2在[1，3]上有最大值f(3) = 10，f(3) = 10，∴ a < 10.

(2) f(x) = x2 + x - 2在[1，3]上有最小值f(1) = 0，∴ a < 0.

說明 一般地，y = f(x)在閉區間上有以下結論(a為常數):

①a < f(x)有解等價于a < [f(x)]max;

②a > f(x)有解等價于a> [f(x)]min;

③a < f(x)恒成立等價于a < [f(x)]min;

④a > f(x)恒成立等價于a> [f(x)]max.

三#65380;注意自對稱與互對稱的區別

例3 判斷下列說法的正確性:

① 若函數f(x)滿足f(1 - x) = f(1 + x)，x∈R，則函數 f(x)的對稱軸為直線x = 1;

② 若函數f(x)滿足f(1 - x) = f(3+ x)，x∈R，則函數f(x)的對稱軸為直線x = 2;

③ 函數y = f(1 - x)與函數y = f(1 + x)的圖像關于直線x = 0對稱;

④ 函數y = f(1 - x)與函數y = f(x - 1)的圖像關于直線x = 0 對稱.

解析 ①，②是函數的自身的對稱問題(自對稱)，而③，④是兩個函數的對稱關系(互對稱). 現提供對②，④的一種解釋. ②因為函數f(x)滿足f(1 - x) = f(3 + x)，x∈R，即 f[2 - (1 + x)] = f[2 + (1 + x)]，所以f(x)關于直線x = 2 對稱;④因為y = f(-x)與y = f(x)關于直線x = 0對稱，而將y = f(-x)與y = f(x) 分別向右平移1個單位得到函數 y = f(1 - x)與函數y = f(x - 1)的圖像，所以，y = f(-x)與y = f(x)的對稱軸也向右平移了1個單位，即得結論.

關于對稱性有如下一般性結論:

若函數f(x)滿足f(a - x) = f(b + x)，(x∈R，a，b)為常數，下同)，則函數f(x)的對稱軸為直線x= ;

若函數y = f(a - x)與函數y = f(b + x)的圖像關于直線x =對稱.

四#65380; y = f(x + a)與y = f-1(x + a)(a ≠ 0)不互為反函數

例4 已知函數y = g(x)的圖像與函數y = f-1(x - 1)的圖像關于直線y = x對稱，且f(2) = 1，求g(2).

解析 學生會錯誤地認為y = f(x - 1)與y = f-1(x - 1)互為反函數，其實，y = f-1(x - 1)有x - 1 = f(y)，即x = f(y) + 1，故y = f-1(x - 1)的反函數為y = f(x) + 1，因此，g(x) = f(x) + 1，g(2) = f(2) +1 = 2.

另解 ∵ g-1(x) = f-1(x - 1)，

∴ g-1(2) = f-1(1) = 2，∴ g(2) = 2.

說明 以上求y = f-1(x - 1)的反函數時未考慮y = f-1(x - 1)的值域，這是由于該函數為抽象函數，

具體問題應當具體分析.

五#65380;函數y = f(x)與它的反函數y = f-1(x)的圖像的交點不一定在直線y = x上

學生會錯誤地認為函數y = f(x)與它的反函數y = f-1(x)的圖像的交點在直線y = x上. 其實不然，如函數y = log x與其反函數y =x都經過點， ， ， ，但它們都不在直線y = x上，事實上，若函數 y = f(x)為定義域上的連續函數，且單調遞增，函數y = f(x)與它的反函數y = f-1(x)的圖像有公共點，則公共點一定在直線y = x上.

以上僅是我對函數的幾類易錯問題歸納，僅供參考.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”