周期函數中的相關問題的探究

成語“周而復始”是指每增加(或減少)一定的量之后所出現的結果相同. 一年四季，春夏秋冬，循環往復，周而復始. 數學中的周期性函數用這一成語來詮釋，既通俗易懂，又耐人尋味. 為什么人們能夠根據今天星期幾，從而推算出幾年#65380;幾十年后，甚至幾百年后的今天是星期幾，這就是同余問題，與每周七天的周期性相關.

一#65380;周期函數的定義

一般地，對于函數y =f(x)，如果存在一個常數T(T ≠ 0)，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x + T)= f(x)，那么函數y = f(x)就叫做周期性函數，常數T叫做這個函數的周期. 換句話說，就是自變量增加(或減少) 一個相同的非零常數T或T的非零整數倍，函數值保持不變.

二#65380;周期函數的模型

周期函數的模型特別多，可選擇正弦函數或余弦函數為模型，也可選擇正切函數為模型:

y = f(x) = sin(2kπ + x) = sinx(k∈Z且k ≠ 0);

y = f(x) = cos(2kπ + x) = cosx(k∈Z且k ≠ 0);

…，-6π，-4π，-2π，2π，4π，6π，…這些數都是正弦函數或余弦函數的周期，其中2π是它們的最小正周期(正切函數的最小正周期是π).解題時，通常情況下需尋求函數的最小正周期.必要時再用非零整數乘以最小正周期，巧妙運用誘導公式，使得解題迅速#65380;簡捷.

人們不禁要問:是不是只要等式f(x + T) = f(x)(T ≠ 0)成立，函數y =f(x)的周期就一定等于T呢?如果是這樣，那么就可以由f(x) = sin+ = sin來判定該函數的周期T =，其實不然，因為定義中的每一個x都滿足f(x + T) = f(x)(T ≠ 0)是特別重要的，是關鍵性的語句.顯然，x在定義域內僅僅一個#65380;兩個或更多一些x值滿足等式是不行的，只要有一個x值不滿足f(x + T) = f(x)就不是周期函數，也就談不上周期是非零常數T.例如:sin+ = sin≠ sin+，所以函數y = sinx在定義域內的周期不是 ，而是2kπ(k∈Z，且k ≠ 0).

建模的過程是培養學生從特殊到一般，從具體到抽象，以個性尋找共性的思維過程.總之，周期函數的周期不能只局限在T = 2π或T = π等上，要能推廣到T =2，3，等任意非零常數上.

三#65380;周期函數的有關問題的探究

1. 半周期與周期的關系(以正弦函數或余弦函數為例)

sin(π + x) = -sinx或cos(π + x) = -cosx.

2. 抽象概括

f(x + π) = -f(x)，即f(x + L) = -f(x).

3. 演算推導

f(x + 2π) = -f(x + π + π) = -f(x + π) = f(x)，

即 f(x + 2π) = f(x).

不難發現，用周期函數的半周期也能推導出它的最小正周期(或推導它的周期).

4. 結 論

如果周期函數y = f(x)在定義域內的每一個x值都能滿足f(x + L) = -f(x)(L ≠ 0)，那么它的周期就是T = 2L(L≠0).

5. 習題舉例

例1 設f(x)是在R上的奇函數，f(x + 3) = -f(x)，當x∈[0，1]時，y = f(x) = 2x + 3，求f(17.5)的值.

分析 這道題，是抽象與具體相結合的周期函數，它的周期T = 2 × 3 = 6.

解 f(17.5) = f(3 × 6-0.5) = f(-0.5) = -f(0.5) = -(2 × 0.5 + 3) = -4.

例2 已知定義域為R的奇函數f(x)滿足f(x + 1)= f(1 - x)，當-1 ≤ x ≤ 0時，f(x) =x -，求f(log220)的值.

分析 需要求這個函數的周期，再運用誘導公式，使得f(x)的自變量x誘入到-1 ≤ x ≤ 0這個區間內，通過等量代換求出所要求的值，周期函數的概念在此起到了重要作用.

解 f(x + 1) = f(1 - x) = -f(x - 1)(奇函數的概念)，

f(x + 1) = f(x - 1 + 2) = -f(x - 1)，

所以f(x + 2) = -f(x)(這里并不是說x - 1 = x，而是表明用x表示x - 1.類似于若用k - 1表示所有的整數，那么用k同樣可以表示所有的整數)

由f(x + 2) = -f(x)，得T = 4.

所以f(log220) = f(log220 - 4) = flog2=

-log = - -= -- = -1.

(由1 < < 2，得-1 < log < 0，使函數f(x)的自變量x∈[-1，0]，才能滿足f:x →x -，從而求出結果)

例3 若函數y = f(x)是定義在(-∞，+∞)上的偶函數，且對于任意x∈R，都存在f(x + 1.5) = -f(x)，若f(1) = 1，tan α = 2，求f(2015sinαcosα)的值.

解 T = 1.5 × 2 = 3.

f(2015sinαcos α) = f 2015#8226;=f2015#8226;= f(806) =f(269 × 3 - 1) = f(-1)= f(1) = 1.

總而言之，研究周期性函數時，不能把人們的思想局限在三角函數的周期上，要拓展到任意非零常數T上去，因為現行教材總是把三角函數的周期選為教學內容，容易對人們的思路起到束縛和禁錮作用.我們既要尊重教材，又要拓寬教材，把思考的余地留給學生.必須明確，解答與周期函數相關的習題時，一定要弄清楚函數的周期，出現半周期的，還要求出最小正周期，再運用誘導公式，使自變量x進入所要到達的區間，求出相應的值，達到快捷解決問題的目的.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”