基于Ｍｏｒａｎ過程的意見傳播模型

【摘要】 將Moran過程引入意見傳播模型，用穩定概率刻畫了意見在群體中的傳播方向，定義了穩定時間來刻畫意見的傳播速度，得出了比較簡單的近似表達形式. 并討論了不同群體結構對意見傳播產生的影響.

【關鍵詞】 意見傳播;穩定概率;穩定時間

假設一定群體中個體的數量是恒定的，設為N，且個體之間無差異性. 個體可以以一定概率p把另一個體說服，而當傳播不成功時，整個種群的意見狀態并沒有發生變化.因此，我們可以適當選取時間刻度，使在一個時間刻度范圍內，僅成功發生一次意見傳播. 為刻畫意見之間的不同，我們定義其適應性，意為其易于傳播性或新穎性.

模型 經典Moran 過程上的意見傳播模型

對于某一事物，有兩種意見狀態a和A. 在t = 0時刻，除一個個體的意見是A外，其他個體的意見都是a. 規定意見A對a具有相對適應性r(r > 0). 若r > 1， 則稱意見A對于a來說是有利意見;若r < 1， 則稱意見A對于a來說是不利意見;否則稱A為中性的. 每一步，按其適應性比例隨機選取一個個體將其意見傳播給一個隨機選取的個體.

將群體中擁有A 意見的個體數目定義為狀態，則上述模型定義了一個離散時間的Markov鏈{xn |n = 0，1，2…}. 開始狀態為x0 = 1. 狀態0，N為吸收態，其余狀態為非常返態.

1. 穩定概率

由隨機過程的理論可知，隨著時間的增加，從狀態1出發，最后進入吸收態0和N的概率之和以概率收斂到1. 我們要考察意見A的傳播方向，可以計算其穩定概率μ1:從狀態1 出發最終能到達狀態N的概率. 由Moran (1962)可知:

2. 穩定時間

穩定概率刻畫了意見在群體中的傳播方向，我想是不是可以定義“穩定時間”來刻畫意見在群體中的傳播快慢. 令T = min{n ≥ 0|xn = 0或xn = N}表示從當前狀態首次到達吸收態的時間，則Ti=E{T|x0 = i}表示從狀態i到吸收狀態的平均時間. 則

T1 = E{T|x0 = 1}= E{T|x0 = 1，x1 = k}P{x1 = k|x0 = 1} =E{T|x1 = k}P{x1 = k|x0 = 1} = 1#8226;P10 + (1 + T1)P11 + (1 + T2)P12 .

其中，pij表示從狀態i到狀態j的一步轉移概率:

pi(i - 1) =#8226; .

pi(i + 1) =#8226; ，

pii = 1 - pi(i-1) - pi(i+1).

分別寫出T2，T3，T4 ，… ，TN-1的表達式，聯立方程組可能解出T1.

T1 =.

比較分子上的三項:第二項N ≤NrN-3 + C;第三項N = NrN =NrN≤NrN. 可以看出，當N充分大時，第二項與第三項與第一項相比都是無窮小量，故當N充分大時，

T1≈ ≈(r - 1)Nr-2(r + 1)=

N(1-r-2).

可以看出T1隨N的增大而增大，隨r的增大而增大(但增幅會越來越小). 下表中我們的計算也證明了這一點.

不同的r，N對應的T1值.

【參考文獻】

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注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”