利用《幾何畫板》開展數(shù)學(xué)實驗的探索與實踐

【摘要】 數(shù)學(xué)實驗的教育功能主要體現(xiàn)在以下幾個方面:能有效促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，從而促進有效教學(xué);能培養(yǎng)學(xué)生的非邏輯思維能力;能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促進學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變;能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念.而現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展為開展數(shù)學(xué)實驗提供了有力的工具及物質(zhì)保障.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗;數(shù)學(xué)教學(xué);教學(xué)案例;幾何畫板

一#65380;數(shù)學(xué)實驗及其教育價值

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見到這樣一種教學(xué)方式:如在“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)中利用“多米諾骨牌”來演示

“遞歸”過程;通過“擲骰子”讓學(xué)生體驗“無理數(shù)”;用“填沙子”來發(fā)現(xiàn)同底等高的半球體積和錐體體積#65380;柱體體積之間的關(guān)系，從而猜想并證明球體體積公式;利用幾何畫板或Z + Z教育軟件對解析幾何中的軌跡問題進行實證等，通常以上種種就是“數(shù)學(xué)實驗”.

數(shù)學(xué)實驗的教育價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面:

1. 數(shù)學(xué)實驗?zāi)苡行Т龠M學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，從而促進有效教學(xué)

數(shù)學(xué)實驗，可以超越傳統(tǒng)數(shù)學(xué)語言的表達形式，幫助學(xué)生建立直觀模型，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的體驗，有利于觀察和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)，形成良好的知識結(jié)構(gòu).過去由于結(jié)論的抽象程度高#65380;推理復(fù)雜，學(xué)生在心理上對新知識的接受有障礙，新知識不能很好地內(nèi)化到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)中去，現(xiàn)在學(xué)生通過實驗來驗證，使知識具體化，可增加學(xué)生對新知識的理解.例如:數(shù)學(xué)實驗可以將傳統(tǒng)方法中描繪靜態(tài)離散的點進化成描述動態(tài)變化的函數(shù)圖像的生成過程，如果說傳統(tǒng)作圖法由于受研究工具的限制只能動態(tài)過程靜態(tài)捕捉，那么在數(shù)學(xué)實驗?zāi)Ｊ街校柚娔X，我們可以讓函數(shù)關(guān)系中自變量x與因變量y之間的動態(tài)依存關(guān)系原汁原味動態(tài)地表現(xiàn)出來.總而言之，數(shù)學(xué)實驗通過學(xué)生的操作#65380;實驗或試驗，使學(xué)生從原有的知識中自然“生長”出新的知識，這一知識的生長過程是一種主動的探索過程，不僅使新知識找到了牢固的附著點，而且使認知結(jié)構(gòu)在探索中得到了發(fā)展.

2. 數(shù)學(xué)實驗?zāi)芘囵B(yǎng)學(xué)生的非邏輯思維能力

在數(shù)學(xué)實驗過程中，不僅可以使學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，而且可以提高學(xué)生的動手能力和分析問題#65380;解決問題的能力.學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中，通過自己動手實驗，充分嘗試，并通過各種途徑去思考#65380;探索，這樣所獲得的知識比起單靠教師講解獲得的要深刻得多;學(xué)生通過對知識的形成過程，對問題的觀察#65380;發(fā)現(xiàn)#65380;解決#65380;引申#65380;變化等過程的模擬和實驗，在深刻理解知識#65380;把握邏輯演繹證明的本質(zhì)的同時，觀察能力#65380;探索能力#65380;創(chuàng)造能力#65380;實際操作能力等都得到了相應(yīng)的發(fā)展.相比較傳統(tǒng)教學(xué)形式而言，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生非邏輯思維能力(猜想#65380;合情推理#65380;直覺等)的作用是不言而喻的，這也完全符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育以學(xué)生發(fā)展為主體目標的教育觀念.一些數(shù)學(xué)教育家很早就提出，讓學(xué)生動手“做數(shù)學(xué)”，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)活動，應(yīng)當(dāng)給學(xué)生以“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)”的教育，要讓學(xué)生除了演繹推理之外，還會運用歸納推理#65380;合情推理等思維方法，體驗完整的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程，即觀察，抽象，歸納，概括，猜想，到分析和論證的全過程.數(shù)學(xué)實驗正是這種理想的數(shù)學(xué)教育形式.

3. 數(shù)學(xué)實驗?zāi)芴岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促進學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)沒有經(jīng)驗的支持，只是被動地接受老師傳授的知識，只是一味地死記硬背公式和定理，只是大量地演算習(xí)題，很少有參與知識的形成過程，更沒有知識的發(fā)現(xiàn)過程與創(chuàng)造過程，這樣的學(xué)習(xí)方式是很難真正理解數(shù)學(xué)的.而數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生根據(jù)教師布置的某些內(nèi)容，選定要學(xué)習(xí)或要解決的問題，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實驗軟件編程實驗，獲得對發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論重要的數(shù)據(jù)(數(shù)值，圖像等)，從而發(fā)現(xiàn)或猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，再加以嚴格的理論證明，是學(xué)生親自動手做數(shù)學(xué)，嘗試數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造.可見，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)改變了傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生從老師那里被動地接受的事實，給學(xué)生提供了更多的動手機會，學(xué)生以研究者的身份進行學(xué)習(xí)，突出學(xué)生的主體地位，使學(xué)生由“聽數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)為“做數(shù)學(xué)”;由過去被動接受轉(zhuǎn)為主動參與;由以前做書本中的習(xí)題變?yōu)樽鲎约涸O(shè)計的問題;由被動地學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃拥匕l(fā)現(xiàn)探索式學(xué)習(xí).著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說:“學(xué)生最好的學(xué)習(xí)方法是動手——提問，解決問題.最好的教學(xué)方法是讓學(xué)生提問，解決問題，不要只傳授知識——要鼓勵行動.”而數(shù)學(xué)實驗恰是學(xué)生自己解決問題.

4. 數(shù)學(xué)實驗?zāi)苡行岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念

我們認為，講授式教學(xué)設(shè)計得再好，也很難適合各種不同層次學(xué)生的不同需求，而數(shù)學(xué)實驗是一種活動化教學(xué)，它能滿足不同學(xué)生的需求，使不同學(xué)生在各自的能力基礎(chǔ)上都得到較充分的發(fā)展.在一定的問題背景下，學(xué)生自己動手實驗，觀察#65380;比較#65380;歸納，親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建構(gòu)過程，所有的新知識，通過自身的“再創(chuàng)造”，納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中，成為有效而能發(fā)展的知識，徹底改變了以講授“現(xiàn)成結(jié)果”為主，以“灌輸”為特征的傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，真正體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)原則.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)在幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進行必要的意義建構(gòu)的同時，恰能起到激勵學(xué)生積極的主觀學(xué)習(xí)意愿，實際上學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗課堂上自始至終保持著濃厚的學(xué)習(xí)和研究的興趣，不再把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)看成負擔(dān)，增強了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，享受著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

然而，由于條件的限制，以往有許多數(shù)學(xué)過程只能存在于頭腦之中，很難付諸實現(xiàn).

二#65380;現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)實驗

工欲善其事，必先利其器.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，信息技術(shù)正深刻地改變著數(shù)學(xué)教學(xué)活動.通過多媒體技術(shù)，可以把以往存在于數(shù)學(xué)家頭腦中的#65380;但很難用普通方法來實現(xiàn)的“數(shù)學(xué)實驗”變成現(xiàn)實;一些精深的數(shù)學(xué)概念#65380;過程可以得到模擬;再難的計算#65380;再復(fù)雜的方程，只要給出算法就能得到解決;復(fù)雜多變的幾何關(guān)系，利用計算機動態(tài)的作圖功能可以得到表示.信息技術(shù)提供的外部刺激是多樣的#65380;綜合的，既可以看見，又能聽見，還可以動手操作.這樣，學(xué)生就可以調(diào)動多種感官參與到學(xué)習(xí)的過程中來，這對數(shù)學(xué)知識的獲取和保持具有重要的意義，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的具體體現(xiàn).總之，在信息技術(shù)為學(xué)生提供的交互式學(xué)習(xí)環(huán)境中，實驗#65380;探究#65380;發(fā)現(xiàn)等將成為重要的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生可以按照自己的認知基礎(chǔ)#65380;學(xué)習(xí)興趣來選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，這就為學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性#65380;積極性的發(fā)揮創(chuàng)造了條件，可以使學(xué)生的主體性得到充分體現(xiàn).

在信息技術(shù)環(huán)境中，由于計算機強大的計算#65380;圖形處理能力，從而使抽象的符號#65380;復(fù)雜而零散的數(shù)據(jù)得到直觀的表示，而且還可以對數(shù)學(xué)對象直接進行操作(如局部放大#65380;變換角度#65380;變換研究對象的空間排列位置#65380;重復(fù)引起變化的關(guān)鍵因素#65380;動態(tài)演示等)，從而對其細節(jié)進行觀察，這就會使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象不同方面的內(nèi)在聯(lián)系的機會大大增加，并為理解其本質(zhì)特征奠定堅實的基礎(chǔ).以下給出幾個利用《幾何畫板》開展數(shù)學(xué)實驗的具體案例.

案例1均值定理的幾何解釋

實驗工具:基于幾何畫板的數(shù)學(xué)實驗平臺.

實驗過程:

步驟1:在實驗平臺中探討均值定理≥ ab及等號成立的條件.

如圖1，點O是半圓的圓心，OE是垂直于BC的半徑，點A是直徑BC上的動點，設(shè)AB = a，AC = b，AF⊥BC交半圓于點F，拖動點A，改變a，b 的值，探索線段AF，OE的大小關(guān)系，體驗均值定理及等號成立的條件.

步驟2:在實驗平臺中探討均值定理的拓展.

如圖2，HB，CD是半圓的切線，且HB=AB，DC=AC連接HD交AF于點G .

(1) 試利用幾何畫板軟件，探索線段AF，AG，AE，BH，CD，OE的大小關(guān)系.

(2) 試用a，b表示線段AF，AG，AE，BH，CD，OE;你得到了哪些有關(guān)實數(shù)a，b或更多實數(shù)的不等式?

(3) 若a < b，試從均值不等式出發(fā)，排列并證明下列6個量的大小:

案例2 探討函數(shù)y = ax +的圖像#65380;性質(zhì)

實驗工具:基于幾何畫板的數(shù)學(xué)實驗平臺.

實驗過程:(教師以輔導(dǎo)為主，學(xué)生動手操作，自主探究)

步驟1:設(shè)定兩參數(shù)a，b，自行繪制函數(shù)y = ax + 的圖像，先固定其中一參數(shù)值，改變另一參數(shù)的值，在圖像的連續(xù)變化中體會參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，并對函數(shù)進行簡單的分類(其四種類型函數(shù)圖像如圖3所示).

步驟2:繪制函數(shù)y = ax和y =的圖像，觀察y = ax +的圖像與前者的關(guān)系，從而進一步探討函數(shù)y = ax +的性質(zhì)(如漸近線#65380;極值#65380;單調(diào)區(qū)間#65380;對稱性等).

步驟3:在實驗平臺(如圖4，由教師提供)上，拖動 x軸上的點x，改變相應(yīng)的x值，觀察比較y = ax +，y = ax，y =對應(yīng)的函數(shù)值的變化(借助于繪制的表格)，判斷兩參數(shù)a，b同號時極值點在何處取得.

步驟4:作出直線y = ax與x = 0構(gòu)成的夾角的角平分線，拖動y = ax +上的任意一點A，觀察其關(guān)于角平分線的對稱點的位置，判斷函數(shù)y = ax + 圖像的對稱性(可提示學(xué)生關(guān)注a = 0時的特殊情況即為常見的雙曲線).

在這種環(huán)境下，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下，在把握對象不同方面特征的基礎(chǔ)上，將不同表示法中蘊涵的信息組合起來，這就大大增加了建立數(shù)學(xué)對象不同方面聯(lián)系性并把握數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征的可能性.在信息技術(shù)的支持下，數(shù)學(xué)知識的多樣化表達方法可以極大地拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)空間，有力地支持學(xué)生的學(xué)和教師的教，使高水平的#65380;深層次的數(shù)學(xué)思維活動獲得有力的支持，使學(xué)生自主探究式學(xué)習(xí)成為可能并得到落實，并能有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生學(xué)得更加生動活潑#65380;更加富有成效.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”