圓錐曲線中的數學美及其價值初探

【摘要】 本文從圓錐曲線的概念#65380;方程#65380;圖形，圓錐曲線中的創造補美說明了圓錐曲線的數學美，并從中探索其價值的應用.

【關鍵詞】 圓錐曲線;數學美;價值初探

學生審美素質的培養已成為當今教學中的一項重要內容. 寓美于教學中不僅能增強教材的感染力，而且對激發學生的學習動機和培養學生的創造能力，以及體會知識的價值都有著積極的意義.

作為一名數學教師，如何結合實際挖掘數學中的美及其價值，是一個極有意義的課題，筆者結合教學實踐，對圓錐曲線中所蘊涵的數學美及其價值作了初步的探求.

一#65380;圓錐曲線中的數學美

圓錐曲線是平面解析幾何中的一個重要內容，它將代數中的方程與幾何中的圖形之間的對應關系有機地統一起來，教給我們利用曲線定義求解方程，并通過方程認識圖形的性質. 通過分析我們可以發現圓錐曲線中具有以下方面的數學美.

1. 概念之美

(1) 曲線與方程的概念:一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y) = 0的實數解建立了如下的關系 :①曲線上的點的坐標都是這個方程的解;②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.

曲線與方程本是數學的兩個分支——幾何與代數中的兩個基本形式，可以在各自的領域內發揮其作用. 這一概念的表述，通過點的坐標與方程的解之間的“一一對應”使曲線與方程成為了對方的“代表”，反映了現實世間空間形式與數量關系之間存在必然的聯系，充分體現了數學的統一美#65380;和諧美.

(2) 圓錐曲線的統一定義:平面內到定點和到定直線的距離之比為常數e的點的集合. 這個定點是它們的焦點，定直線是它們的準線.

橢圓，雙曲線，拋物線三種圓錐曲線雖然有它們各自的定義，然而有了這個統一的定義我們感到三種不同的曲線竟然有統一的定義. 更驚奇的是三種曲線由常數e在正實數范圍內的三個特殊取值范圍來決定:

當0 < e < 1時，曲線是橢圓;

當e > 1時，曲線為雙曲線;

當e = 1時，曲線是拋物線.

從這一定義我們不僅看到了數學的統一美，而且還感受到了不同形態歸于相同數學概念的奇異美.

2. 方程之美

焦點在x軸上的橢圓的標準方程是+ = 1(a > b > 0)，雙曲線的標準方程為- = 1. 顯然，它們的方程給我們以簡潔#65380;對稱的美. 另外，方程中的a，b還有其相應的幾何含義:(1)長(實)半軸長，短(虛)半軸長;(2)頂點坐標的絕對值. 更妙的是，交換方程中x，y的位置就是焦點在y軸時的標準方程.

拋物線的方程，分焦點在x軸的正#65380;負半軸上，在y軸的正負半軸上四種形態，焦點在x軸上時方程為y2 = ± 2Px，焦點在正半軸上時取“+”，在負半軸上時取“ -”. 同樣，交換x，y位置后，可得相應焦點在y軸上的方程x2 = ±2py. 方程中p也有其具體的幾何意義:(1)焦點到準線的距離;(2)焦點坐標為± ，0或0，± ;(3)通徑為2p.

3. 圖形之美

圓#65380;橢圓與雙曲線的圖形，都關于坐標軸和原點對稱，拋物線的圖形關于某一條坐標軸對稱. 這四種曲線的圖形體現了數學中的對稱美，簡潔美，在現實世界中，這些圖形是實實在在存在的，天體運行的軌道就是這四種曲線. 四種曲線還可以通過平面截圓錐的截線而得到，故它們統稱為圓錐曲線.

4. 圓錐曲線中的創造補美

我們在發現，揭示數學美的同時，也看到數學中美的創造——補美. 橢圓#65380;雙曲線標準方程的推導就是一個很好的例證.

在推導橢圓方程時，我們首先得到 + = 2a，但此方程不符合數學美的“簡潔性”，于是我們繼續化簡得+ = 1，它比上面的方程簡單多了，但還不符合數學美的要求. 我們由橢圓的圖形知道它具有對稱性，那么相應的方程也應具有對稱性. 所以，我們還須再改進方程. 沿方程的形式思考，應設法使y2與x2的分母具有一致的形式——常數的二次冪，為此，令a2 - c2 = b2(b > 0)，于是得到了橢圓的標準方程+ = 1(a > b > 0). 這里就是利用了補美法創造了橢圓方程的簡潔美#65380;對稱美. 更妙的是，引進的b正好是橢圓的短半軸長，這便是數學中奇異美之所在.

雙曲線的標準方程推導也同出此轍.

二#65380;圓錐曲線中數學美的價值

1. 統一美的價值

圓錐曲線方程的建立，曲線中a，b，c，p的求解是圓錐曲線的兩個重要問題. 在解決這些問題時，關鍵在于運用曲線與方程的關系及圓錐曲線的定義，特別是它們的統一定義，其解題過程就體現了統一美的價值.

例1 已知橢圓E的方程為+ = 1(a > b > 0)，AB是它的一條弦，M(2，1)是弦AB的中點. 若以M(2，1)為焦點#65380;橢圓E的右準線為相應準線的雙曲線C和直線AB交于點N(4，1)，且橢圓的離心率e與雙曲線的離心率e1之間有ee1 = 1. 求:(1)橢圓E的離心率e;(2)雙曲線c的方程.

解 (1)設點A(x1，y1)，B(x2，y2).

A，B在橢圓上，則有+ = 1，+ = 1.整理得b2(x1 - x2)(x1 + x2) + a2(y1 - y2)(y1 + y2) = 0.(*)

M是AB中點，所以x1 + x2 = 4，y1 + y2 = 2.

(*)式為 4b2(x1 - x2) + 2a2(y1 - y2) = 0.

-= = kWB.

由題意kAB = kMN = -1，所以= 1，

則c2 = a2 - b2 = 2b2 - b2 = b2，于是e = = . (2) 由(1)得的結果，可知橢圓右準線方程為x = 2c，設雙曲線上任一點P(x，y)，且P到準線x = 2c的距離為d，根據圓錐曲線的統一定義得=e1， =.

又N是雙曲線上的點，把點N(4，-1)代入上式，解得C = 3，所以，所求雙曲線方程是=，

化簡得(x - 10)2- (y - 1)2 = 32.

在曲線與方程，圓錐曲線定義的統一性思想的指導下，我們在解決求方程#65380;求參數的問題時才能方向明確，并使問題趨于簡明.

2. 對稱美的價值

對稱在一定程度上促進了數學的發展，也為數學增添了一道和諧的風景. 從方法論上講掌握對稱美可使數學解題獲得事半功倍之效.

例2 設橢圓+ = 1(a > b > 0)的右焦點為F1，右準線為L1，若過F1且垂直于x軸的弦長等于點F1到L1的距離，則橢圓的離心率是 .

解 因為橢圓關于x軸對稱，所以弦的長就等于弦端點到焦點距離的2倍.

由圓錐曲線的統一定義得e =.

對稱是圓錐#65380;曲線共有的性質，四種曲線不僅方程#65380;圖形對稱，而且橢圓與雙曲線還有一些奇妙的可逆對稱結論:

設AA1是橢圓+ = 1(a > b > 0)長軸的兩個端點，QQ1是與AA1垂直的弦，則直線AQ與A1Q1的交點P的軌跡是雙曲線- = 1.

把上面命題中的橢圓與雙曲線互換，所得命題仍然成立. 即設A，A1是雙曲線- =1的實軸的兩個端點， PP1是與AA1垂直的弦，則直線AP與A1P1的交點Q的軌跡是橢圓+ = 1(a > b > 0).

3. 拓展美的價值

圓錐曲線中的許多問題都有著豐富的潛在結論. 一個結論一經引申推廣便會有許多的結論出現，充分展示了圓錐曲線拓展美的價值.

如習題:過拋物線y2 = 2px的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1y2，求證:y1y2 = p2.循此題的解證稍加引申便可得以下一些結論:

(1) 拋物線的通徑是最短的焦點弦;

(2)過y2 = 2px的焦點的一條直線和拋物線相交，兩個交點的橫坐標為x1x2，則x1x2 = ;

(3) 一條直線與拋物線y2 = 2px相交于兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果坐標滿足y1y2 = p2(或x1x2 =)，那么這條直線過拋物線的焦點;

(4)拋物線y2 = 2px的焦點弦的傾角為α(α ≠ 0)，則焦點弦的長度為 ;

(5) 若拋物線的焦點弦AB#65380;焦點為F，則 +=;

(6) 以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與其準線相切;

(7) 拋物線焦點弦的兩端點的切線互相垂直;

(8) A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是y2 = 2px上的三點，若FA，FB，FC成等差，則①x1，x2，x3成等差;②y2，y22，y23成等差.

一題而得多結論，真有美不勝收之感!

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”