動態性探索試題的解題思想

隨著素質教育的全面推進，用數學開放題培養學生的創新意識和能力，已經成了教改的熱點. 特別是培養學生能用運動#65380;變化的觀點去分析問題#65380;解決問題，也是中考命題的熱點. 本文以兩例動態性探索試題為例，供大家參考.

一#65380;點的運動與幾何圖形

例1 (2007年寶應縣)如圖1，正方形ABCD的邊長為2 cm，在對稱中心O處有一釘子.動點P，Q同時從點A出發，點P沿A→B→C方向以2 cm/s的速度運動，到點C停止，點Q沿A→D方向以1 cm/s的速度運動，到點D停止.P，Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯接，設x秒后橡皮筋掃過的面積為y cm2.

(1) 當0 ≤ x ≤ 1時，求y與x之間的函數關系式;

(2) 當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x值;

(3) 當1 ≤ x ≤ 2時，求y與x之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時∠POQ的變化范圍.

解 (1) 當0 ≤ x ≤ 1時，點P在線段AB上，點Q在線段AD上，并且AP = 2x，AQ = x，此時S△ABC =#8226;AQ#8226;AP，即y =#8226;2x#8226;x，所以y = x2.

(2) 如圖2所示，易得CP = 4 - 2x，AQ = x，由△AOQ ≌ △COP得CP = AQ，即4 - 2x = x，解得x =.

(3) 如圖3過O作OE⊥AB，垂足為E，易得OE = BE = AE = 1，則y = S梯形BEOP + S梯形OEAQ=(OE + BP)#8226;BE +(OE + AQ)#8226;AE =(1 + 2x - 2) × 1 +(1 + x) × 1，整理得:y =x，當橡皮筋剛好觸及釘子時，∠POQ=180°，當P，Q停止運動時，點P與點C重合，點Q與點D重合，此時∠POQ = 90°，所以∠POQ的變化范圍是:180°~90°.

點評 這道題從表面看是一道幾何題目，但它需要代數方法求解，通過設未知數把某些相關的量表示出來，再利用三角形的面積公式或梯形面積公式求出面積.

二#65380;點的運動與坐標系

例2 (2007年連云港市)如圖4，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C在坐標軸上，OA = 60 cm，OC = 80 cm.動點P從點O出發，以5 cm/s的速度沿x軸勻速向點C運動，到達點C即停止.設點P運動的時間為t s.

(1) 過點P作對角線OB的垂線，垂足為點T.求PT的長y與時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍.

(2) 在點P運動過程中，當點O關于直線AP的對稱點O′恰好落在對角線OB上時，求此時直線AP的函數解析式.

(3) 探索:以A，P，T三點為頂點的△APT的面積能否達到矩形OABC面積的 ?請說明理由.

解 (1) 如圖5，在矩形OABC中，

∵OA = 60，OC = 80，

∴ OB = AC = = 100.

∵ PT⊥OB，∴Rt△OPT∽Rt△OBC，

∴ =，即=，

∴ y = PT = 3 t.

當點P運動到C點時即停止運動，此時t的最大值為= 16 .

所以，t的取值范圍是0 ≤ t ≤ 16.

(2) 當O點關于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時，A，T，P三點應在一條直線上(如圖6).

∴ AP⊥OB，∠1 = ∠2，

∴ Rt△AOP∽Rt△OCB，

∴ =，∴ OP = 45，∴ 點P的坐標為(45，0).

設直線AP的函數解析式為y = kx + b.將點A(0，60)和點P(45，0)代入解析式，得60 = a + b，0 = 45k + b.解這個方程組，得k = - ，b = 60.

∴ 此時直線AP的函數解析式是y = - x + 60.

(3)由(2)知，當t = = 9時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構成三角形. 故分兩種情況:

(i) 當0 < t < 9時，點T位于△AOP的內部(如圖7).

過A點作AE⊥OB，垂足為點E，由AO#8226;AB = OB#8226;AE可得AE = 48.

∴ S△APT = S△AOP- S△ATO- S△OTP =

× 60 × 5t - × 4t × 48 -×

4t × 3t = -6t2 + 54t.

若S△APT =S矩形OABC，則應有-6t2 + 54t = 1200，即t2 - 9t + 200 = 0.

此時，(-9)2 - 4 × 1 × 200 < 0，所以該方程無實數根.

所以，當0 < t < 9時，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的.

(ii) 當9 < t < 16時，點T位于△AOP的外部.(如圖8)

此時 S△APT = S△ATO+ S△OTP- S△AOP = 6t2 - 54t .

S△APT =S矩形OABC，則應有6t2 - 54t = 1200，即t2 - 9t - 200 = 0.

解這個方程，得t1 =，

t2 = < 0(舍去).

由于881 > 625 = 252，

∴t= > = 17.

而此時9 < t ≤ 16，所以t =也不符合題意，故舍去.

所以，當9 < t ≤ 16時，以A，P，T為頂點的△AOP的面積也不能達到矩形OABC面積的 .

綜上所述，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的 .

點評 這是一道把點的運動與四邊形折疊問題放在直角坐標系中求一次函數及一次函數的解析式. 此題的突破口是利用基本性質(如折疊的性質#65380;相似形的性質)求出相關線段的長度，有一定的難度.

在解題過程中利用圖形的性質，通過設未知數，列方程，將幾何問題轉化為代數問題來解決. 從解題過程可看出，若對上面問題僅從解析方法考慮，則解法很繁，若將數形結合起來考慮，解法就簡潔了. 由此可見，在初中階段初步形成學生的數形結合的思想是非常必要的.

通過對數形結合思想的分析，可以看出在初中階段初步形成學生的數學思想方法的重要性. 用方程思想解決問題也是數學學習的一種重要的思想，動態性探索試題的解題思想是“動”中求“靜”.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”