論微積分牛頓公式的擴充形式

【摘要】 對通常的牛頓—萊布尼茲公式和分部積分公式成立的條件擴充到原函數在積分區間[a，b]上除a，x1，…，xm外處處可導的一般情況. 并僅用普通的分析知識證明了激烈振蕩函數積分中的一個定理.

【關鍵詞】 牛頓—萊布尼茲公式;付里葉級數;歸納法

一#65380;牛頓一萊布尼茲公式概述

牛頓—萊布尼茲公式是微積分中最重要的定理之一. 它是由英國科學家牛頓和德國數學家萊布尼茲在17世紀發現的. 牛頓稍先于萊布尼茲發現了該公式，不過當時沒有正式發表，而萊布尼茲發現該公式后立即就發表了，所以，該公式當時命名為萊布尼茲公式. 而當牛頓逝世后，人們在他的手稿中竟發現了該公式與萊布尼茲所發現的公式大同小異，其實內容一樣，只是敘述方法略有差異而已. 他們的工作是彼此獨立完成的，為了紀念牛頓和萊布尼茲對數學上的偉大貢獻，后人將該公式正式命名為牛頓—萊布尼茲公式.

牛頓和萊布尼茲創立微積分的相同之處在于:兩人從不同的角度創立了一門新的數學學科，使微積分具有廣泛的用途并能應用于一般函數;用代數的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關系.

牛頓和萊布尼茲創立微積分的不同點主要有:牛頓繼承了培根的經驗論，對歸納特別青睞. 牛頓的微積分明顯帶著從力學脫胎而來的物理模型的痕跡，以機械運動的數學模型出現，其中的基本概念，如初生量#65380;消失量#65380;瞬#65380;最初比和最后比等概念都來自機械運動，是機械運動瞬間狀態的數學抽象. 他建立微積分的目的是為了解決特殊問題，強調的是能推廣的具體結果. 而萊布尼茲強調能夠應用于特殊問題的一般方法和算法，以便統一處理各種問題. 萊布尼茲在符號的選擇上花費了大量的時間，發明了一套富有提示性的符號系統. 他把sum(和)的第一個字母s拉長表示積分，用dx表示x的微分，這套簡明易懂又便于使用的符號一直沿用至今.

牛頓和萊布尼茲用各自不同的方法創立了微積分學. 牛頓認為微積分是純幾何的自然延伸，關心的是微積分在物理學中的應用. 萊布尼茲關心的是廣泛意義下的微積分，力求創造建立微積分的完善體系. 他們的貢獻使微積分成為了一門獨立的學科，并給整個自然科學帶來了革命性的影響. 從他們的微積分創立過程中可以看出:當巨人的哲學沉思變成科學的結論時，對科學發展的影響是深遠的.

通常牛頓—萊布尼茲公式用以下兩個定理來精確地表示.

定理1 如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，則積分上限函數Φ(x) =f(t)dt在[a，b]上就具有導數，并且它的導數是Φ′(x) = f(x)，a ≤ x ≤ b.

定理2 如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，又函數F(x)為f(x)在區間[a，b]上的一個原函數，則f(x)dx = F(b) - F(a).

我們知道，微積分主要由微分學和積分學兩大部分構成. 歷史上微分學的中心問題是切線問題，積分學的中心問題是求積問題，微分和積分本質上是平行發展互不干涉的兩個概念. 而當牛頓—萊布尼茲公式出現后，才在微分和積分之間架起一座聯系的橋梁. 該公式不僅給出了計算定積分的具體方法，而且在理論上標志著微積分完整體系的形成. 從此，微積分才真正成為了互相不能分離的一門學科. 牛頓—萊布尼茲公式建立了微分中值定理與積分中值定理之間的聯系.

牛頓—萊布尼茲公式還揭示這樣的一個事實:定積分可歸結為一個只與被積函數與積分區間端點有關的量. 并且這一思想可以推廣到多元函數的積分，如林格公式#65380;高斯公式#65380;斯托克斯公式就表明多元函數在某個區域上的積分，可歸結為一個只與被積函數和積分區域的邊界有關的量(積分區域為區間時，其區域為區間端點;積分區域為平面區域或曲面區域時，其邊界為一條封閉的曲線).

導數#65380;微分#65380;不定積分#65380;定積分是微積分學中最重要的概念. 其中微分與不定積分都是由導數定義的，三者之間的聯系是顯而易見的，但定積分同這三個概念間的聯系都不能從定義中看出，正是牛頓—萊布尼茲公式從理論上揭示了定積分與微分間的互逆關系，使微積分的四個重要概念融為一體.

至此，我們可以看出，將牛頓—萊布尼茲公式冠名“微積分基本定理”真是恰如其分. 下面筆者要介紹牛頓—萊布尼茲公式的一種擴充形式及其應用.

二#65380;牛頓一萊布尼茲公式的一種擴充形式及其應用

通常的牛頓—萊布尼茲公式是:

f(x)dx = F(b) - F(a).(1)

要求f′(x)在區間[a，b]上連續，而通常的分部積分公式: f′(x)g(x)dx -[f(x)g(x)] -f′(x)g′(x)dx. (2)

要求f′(x)#65380;g′(x)在區間[a，b]上連續，(1)#65380;(2)的這些要求使得它們的應用受到了限制. 文[2]對(1)式推廣而得到了:

u′(x)dx = u(b) - u(a). (3)

要求u′(x)在區間[a，b]上連續且按段光滑，文[2]也對(2)式進行了推廣而給出了:

u′(x)v(x)dx - [u(x)v(x)] - u(x)v′(x)dx. (4)

要求u′(x)和v′(x)在區間[a，b]上連續且按段光滑. (3)與(4)式在付里葉級數的逐項求積與逐項求導的定理證明中起到了重要作用 .

下面給出(1)式的一種擴充形式，它包括了(1)式和(3)式. 給出(2)式的一種擴充形式，它包括了(2)式和(4)式.

首先給出式(1)的擴充形式，即

定理1 設f(x)在區間[a，b]上除a，x1，…，xm外處處可導，在這些點補充定義后，f′(x)在區間[a，b]可積，則

f′(x)dx - f(b - 0) - f(a + 0) -Δf，xi.(5)

其中，Δf，x = f(x + 0) - f(x - 0)為f(x)在點x的跳躍度.

證 由文[1]知道，若g(x)在區間[c，d]連續，于區間[c，d]可導，且 g′(x)dx存在，則

g′(x)dx = g(d) - g(c).(6)

現若h(x)于[c，d]可導， g′(x)dx存在，則h′(x)有界，因而h(c + 0)，h(c - 0)存在，因此，只要令

h(x) = h(c + 0)，x = c;h(x)，x∈(c，d);h(d - 0)，x = d.

對h(x)用(6)式可得:

h′(x)dx =h′(x)dx = h(d - 0) - h(c + 0).(7)

在本定理中，置[xj，xj+1]為[c，d](a = xa，a = xm+1)，用(7)式可得: f′(x)dx =f′(x)dx =

(f(xj+1 - 0) - f(xj + 0)) =

f(b - 0) - f(a + 0) - Δf，xj.

證畢.

易見(5)式包含了(1)和(3)式.

下面再給出(2)式的擴充形式，即

定理2 設f(x)在區間[a，b]上除a，x1，…，xm外處處可導，且 f′(x)dx和 g′(x)dx都存在，則

f′(x)g(x)dx = f(b - 0)g(b - 0) - f(a + 0)g(a + 0) -Δfg，xi - f(x)g′(x)dx.(8)

證 當x不為a，x1，…，xm點時，

(f(x)g(x))′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x).(9)

由定理條件知道(9)式右端積分，因而左端積分存在，且 f′(x)g(x)dx =(f(x)g(x))′dx - f(x)g′(x)dx.(10)

而由定理1知道:

(f(x)g(x))′dx = f(b - 0)g(b - 0) - f(a + 0)g(a + 0) -Δfg，xi .(11)

由(10)式和(l)式即可得到(8). 證畢.

可以看到(2)式和(4)式為(8)式的特殊情況.

下面舉例說明定理在激烈振蕩函數積分中一些應用. 例 設f(x，y)于區域[0，l] * (-∞，+∞)連續，對x有r階連續偏導數，對y為周期的且周期為l， N為自然數，則 f(x，Nx)dx = f(x，y)dxdy +v#8226; [f(v-1，0)(1，y) - f(v-1，0)(0，y)]Bv(y)dy - r Bv#8226;(y - Nx)f(r，0)(x，y)dxdy.(12)

其中，Br(y)為v次的Bernoulli多項式，Bv(y) =

Bv({y})為Bernoulli函數，f(α，β) =.

證 令Rr (f) = rdy Br(y - Nx)f(r，0)(x，y)dx.(13)

Gr(y) = Bf(r，0)(x，y)Br(y - Nx)dx.(14)

當y∈(0，1)，r = 1時，

B1(y - Nx)于x =， ，…， 不連續，除這些點外處處可導，且= -N. 對(14)式用定理2，有

G1(y) = [f(x，y)B1(y-Nx)] -[f(x，y)B1(y-Nx)]-f(x，y)(-N)dx = f(1，y)B1(y)-f(0，y)B1(y)- ，y+ N f(x，y)dx.

因而R1(f) = [f(1，y)-f(0，y)]B1(y)dy +f(x，y)dxdy - ，ydy.

但是 f ，ydy = f(x，Nx)dx = (x，Nx)dx.

所以當r = 1時(12)式成立，當r ≥ 2時，因為

Br(y - Nx)連續，對(14)式再用定理(2):

Gr(y) = [f(r-1，0)(1，y) - f(r-1，0)(0，y)]Br(y) + Nr f(r-1，0)#8226;(x，y)Br-1(y - Nx)dx.

故Gr(f) = Rr-1(f) + r[f(r-1，0)(1，y) - f(r-1，0)#8226;(0，y)] × Br，(y)dy.因此，由歸納法己知(12)式成立，證畢.

(12)式子左端的積分 f(x，Nx)dx當N很大時候被積分函數將是激烈震蕩的. 此例子就是文[3]中的定理. 在[3]的證明中要用到著名的Euler-Maclaurin 求和公式和Bernoulli多項式的Raabe乘積定理. 而本文此處的證明僅用到了普通的分析知識.

【參考文獻】

[1] 華東師范大學數學系編(數學分析.上冊)[M].北京:人民教育出版社，1980

[2] 華東師范大學數學系編(數學分析.下冊)[M].北京:人民教育出版社，1980

[3]恩格斯.自然辯證法[M].北京:人民出版社， 1971.

[4]申先甲.牛頓的力學及其哲學思想[M].北京:人民出版社，1972.

[5] C.H.愛德華.微積分發展史[M].北京:北京出版社， 1989.

[6] M.克萊因.古今數學思想[M].上海:上海科學技術出版社， 1979.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”