高中數學教學中幾類習題的設定

數學教育活動中，“解題”是最基本的活動形式，無論是學生的數學概念的形成、數學命題的掌握、數學方法和技能技巧的獲得，還是學生智力的培養和發展，都必須通過“解題”來實現；同時，“解題”也是評價學生的知識和發展水平的主要手段. 習題配備得好不好，直接影響到學生學習質量的高低. 許多優秀中學數學教師的教學質量之所以高，一部分原因也是由于習題選擇和處理得恰當. 當代著名的教育家伯利亞強調指出，“中學數學教學的首要任務就是加強接替訓練”. 因此要想更好地培養學生的能力，習題的選取就十分重要. 除常規習題的選取外還要注意以下幾類習題的選取.

一、開放問題的設定

數學開放問題是針對傳統的封閉問題而言的，其特點是題目條件不充分，或沒有確定的結論，也正因為這樣，所以開放題的解題策略也是多種多樣的. 學生解決開放問題，其作用在于：

１. 有助于激勵學生參與到問題解決活動中，新穎而富于挑戰性的開放問題可以使每名學生都進行自己力所能及的探索.

２. 探索開放問題的多種答案，要求學生全面觀察，廣泛聯想，多方面、多角度、多層次地去思考，因此是發展學生高層次思維品質的有效材料.

３. 能讓學生體驗數學研究中的一些方法，加深對數學品質的理解. 開放問題的求解，一般研究性較強，常要通過觀察、猜想、特殊化、類比等途徑去尋找答案，通過這種探索實踐，認識到數學在邏輯演繹推理以外的另一面，即合情推理的一面.

４. 多元化的價值觀，方法的多樣化，多種方式的表現形式，使學生學會與他人合作，學會認同他的人工作，學會吸收他人的成果.

基于以上的優點，我認為應將數學的開放題引入到對資優學生的思維訓練中，這對于培養和鍛煉資優學生的數學思維十分有益.

在開放問題的選取上要做到：１. 有利于多角度分析問題. ２. 有利于培養大膽猜想歸納證明的能力.

二、探索性問題的設定

數學問題可按不同的標準加以分類，不同的分類標準得到不同類型的數學題，探索性數學題是按數學題構成要素標準、著眼于數學題的功能進行分類的一種題型. 通常一個數學問題的構成包含四個因素，即題設條件、解題的依據、解題的方法、問題的結論. 探索性問題就是指其中兩個因素未知的題型，當然在兩個未知的因素中至少一個是問題的結論或題設條件.

對于探索性問題的設計可以從以下幾方面入手：

１. 將一般求解題改造成探索性問題

例如：曲線Ｃ：３ｘ２ － ｙ２ ＝ １與直線ｌ：ｙ － ｍｘ － １ ＝ ０ 交于Ａ，Ｂ兩點，以ＡＢ 為直徑的圓，經過原點，求m 的值.

如將求m的值改為設問的方式，是否存在實數m就可變為如下存在型探索性問題：

已知曲線Ｃ：３ｘ２ － ｙ２ ＝ １與直線ｌ：ｙ － ｍｘ － １ ＝ ０.問：是否存在實數m使得C與l交于Ａ，Ｂ兩點，且以AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出m的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.

經過這樣一改造，給解題思考方向帶來了不確定性，使原題變成了探索性問題，求解題通常采用將求某個數量的提法改為是否存在某個數量使某個數學對象成立或存在的做法，將原題變為探索性問題.

２. 將證明題改為探索性問題

例如：設拋物線Ｃ１：ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａｃ ≠ ０）與x軸至少有一個交點，則拋物線C2:y = cx2 + ｂｘ ＋ ａ與ｘ軸也至少有一個交點，又若Ｍ１（ｘ１，０）為拋物線Ｃ１與ｘ軸正半軸的一個交點，則在ｘ軸上必然還存在一個點Ｍ２（ｘ２，０）其坐標滿足Ｃ２的方程，且ｘ１ ＋ ｘ２ ≥ ２．

如果將證明結論改為疑問句表達就可改造為探索性問題：

設拋物線C1:ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａｃ≠０）與ｘ軸至少有一個交點，試問：拋物線Ｃ２：ｙ ＝ ｃｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ａ與ｘ軸是否存在交點？又若Ｍ１（ｘ１，０）為拋物線C1與x 軸正半軸的一個交點，試問在x軸上是否必存在一個點Ｍ2（ｘ2，０），其坐標滿足C2的方程，且ｘ１ ＋ ｘ２ ≥ ２．

３. 將逆命題為真的原命題改造為探索性問題

例如：已知拋物線ｙ２ ＝ ２ｐｘ，過（２ｐ，０）點的直線與拋物線交于Ｐ，Ｑ兩點，求證ＯＰ⊥ＯＱ．

容易得出該命題的逆命題是真命題，故可將原命題改造成這樣的探索性問題：

已知拋物線C的頂點為原點O，試證在拋物線C所在的平面內是否存在定點M，使得過點M的直線l與拋物線C交于P，Q，且∠PAQ為直角.

事實上，這種改造是在逆命題是真的前提下，才能將逆命題改造成探索性問題的.

４. 將需要分類討論的問題改造成探索性問題（例題略）

５. 將容易產生疏漏或容易忽略反例的素材，編擬成探索性問題（例題略）

６. 由特殊情況的命題推向一般來編擬探索性問題（例題略）

以上僅列舉設計和編擬數學探索性問題的一些常用的思路和方法，其實，任何一個問題都可轉化為探索性問題，在對資優學生的教學中，可將選好的題進行上述方法的改編，轉化為探索性問題，從而加大學生的思考空間，提高學生的學習興趣.

三、應用問題的設定

應用問題是數學問題中一個熱門問題，在各類數學考試中都占有十分重要的地位，那么對于資優學生的培養當然也離不開對應用問題的研究了. 應用問題可以涉及數學的各個方面，高中階段的應用問題主要分為以下兩類：

１. 最優化問題. 它可以涉及到高中階段所研究的函數、數列、不等式、圓錐曲線等等方面. 只要是研究結果非確定性的問題都可以看成是最優化問題. 常用的方法與函數最值，不等式最值分不開.

２. 判定概率問題. 近幾年，概率問題越來越受到重視，新教材中也增加了概率與統計的內容，對離散性隨機變量的研究已成為應用問題的主要研究方向，近幾年的高考也一直圍繞著這個問題出題，所以在平時對資優學生的培養中這部分問題也很重要.

應用問題題型靈活，涉及面廣，可以將高中部分的數學知識綜合在一起，是鍛煉學生思維廣闊性的很好的載體. 所以對這方面的問題設定主要以各方面知識的整合為主.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”