向量在解題中的應用

【摘要】 向量是近代數學中一個十分有用的工具.利用向量法解某些數學問題，往往可以收到化繁為簡#65380;化難為易和綜合應用的效果，并且能拓寬學生的解題思路，激發他們的學習興趣和熱情.

【關鍵詞】 向量;數學問題;解題;應用

向量是研究幾何學的重要工具，也是近代數學中最有用的代數結構之一.向量理論除了在數學中有著廣泛的應用外，在其他學科中的應用也越來越廣泛.向量知識不僅應用廣泛，也是進一步學習數學的基礎(如為學習三角#65380;復數#65380;解析幾何等作準備).

向量既能體現“形”的直觀的位置特征，又具有“數”的良好的運算性質，所以它是數形結合和轉換的重要橋梁.它的主要價值體現在幾何中，使得在解決幾何問題時，可以減少繁瑣困難的邏輯推理過程.因此，用向量法解數學題，往往可以收到化繁為簡#65380;化難為易和綜合應用的效果.然而，現行的高中教材中向量部分的內容，僅限于介紹向量的一些基本概念和基本運算，而對用向量來解決數學問題則很少涉及.以下就有關問題給出向量解法.牛頓說過，“對于數學，有時例子比定理更重要”.

1. 用向量法解決立體幾何問題

近幾年來，由于高考命題傾向于新教材的改革，因此，善于運用空間向量來解決立體幾何的問題成為高考命題的熱點之一.當然，高考中的立體幾何解答題一般都是“一題兩解”的類型.

例1 (全國高考題)如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB = 90°，側棱AA1 = 2，D，E分別是CC1和A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

(1) 求A1B與平面ABD所成角的大小(結果用反三角函數值表示);

(2) 求點A1到平面AED的距離.

試用向量法解之.

解 (1)連接BG，則BG是BE在平面ABD內的射影，所以，∠A1BG就是A1B與平面ABD所成的角.

如圖2所示建立坐標系，原點為O.設CA = 2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G ， ， .

∴ =， ， ， = (0，-2a，1).

∵⊥，

∴#8226;= - a += 0，∴a = 1，

∴ = (2，-2，2)，=，- ， ，

∴ cos∠A1BG = ==，

∴ A1B與平面ABD所成的角是arccos .

(2) 由(1)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)，于是， #8226;= (-1，1，1)#8226;(-1，-1，0) = 0， #8226;= (0，0，2)#8226;(-1，-1，0) = 0，

∴ ED⊥平面AA1E.又ED?奐平面AED，∴平面AED⊥平面AA1E，又平面AED∩平面AA1E = AE，∴點A1在平面AED內的射影K在AE上.

設= λ ，則=+ = (-λ，λ，λ-2).由= = 0，即λ + λ + λ -2 = 0，解得λ =，

∴ = - ， ，- ，∴| | =，

∴ A1到平面AED的距離為 .

本題若用常規解法來做，其輔助線#65380;面很難想到，因而，在高考中用常規解法的學生得分幾乎為零;而用向量法來解，則可避開這一困難，把復雜的難以想象的問題轉化為代數運算，簡化了推理論證的過程，優點不言自明.

用向量法解幾何問題通常有兩種途徑:一是如上例，通過適當選取坐標系，求出有關向量的坐標，再用向量運算的坐標表達式加以解決;另一種是把線段向量化，直接用向量運算的定義和性質解決問題.在解題中要根據題意靈活選擇適當的方法.如下例:

例2 (江蘇省高考題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4.點O是正方形A1B1C1D1的中心，點P是棱CC1上的一點，且CC1 = 4PC.

(1)求AP與平面BCC1B1所成的角的大小(用反三角函數值表示).

(2)若點O在平面APD1內的射影為H，求證:D1H⊥AP.

(3) 求點P到平面ABD1的距離.

其中第(2)問就以把線段向量化，直接用向量運算的定義和性質來證明較為方便.具體證明如下:

證明 ∵ H為點O在平面APD1內的射影，

∴ OH⊥平面APD1，∴ OH⊥AP 即⊥，

∴#8226;= 0.

又#8226;= (+)#8226;= #8226;+#8226;=#8226;(+) + 0 =#8226;+#8226; ， ∵正方體ABCD-A1B1C1D1，

∴⊥，⊥ ，

∴#8226; =#8226;+#8226; = 0，

∴⊥ 即D1H⊥AP.

此題如用傳統方法來解，則推理論證過程稍顯復雜，對學生來說要表達清楚并不是件容易的事;而如果用向量的坐標運算，則要面臨如何求點H的坐標的難題，采用上述兩種做法的學生很少能得到滿分.

2. 用向量法解解析幾何問題

解析幾何綜合題是高考必考題型之一，其特點是條件多#65380;設問多，涉及的知識點多，因此，解此類題時，需要善于捕捉關鍵的信息來探明題意#65380;思路，善于進行數形之間的轉化.例如，對于解析幾何中圖形的重要位置關系——平行#65380;垂直#65380;共線等，以及數量關系(距離#65380;角等)，就可以通過向量的運算來刻畫.

例3 (全國高考題)設拋物線y2 = 2px(p > 0)的焦點為F，經過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥ x軸. 證明:直線AC經過原點.

此題的解法頗多，可以用常規的坐標法，也可以采用圓錐曲線的幾何性質，借助平面幾何的方法進行推理.除此之 外，還可以采用向量法解決.

解∵點A，B在拋物線y2 = 2px(p > 0)上，∴設A ，y1，B ，y2.

(1) 當AB⊥x軸時，由AB過焦點F，得y12 = y22 = p2 . 又y1y2 < 0，∴ y1y2 = -p2，

(2) 當AB不垂直于x軸時，則y1 ≠ y2.

∵ A，F，B三點共線，

∴∥ .

又= -，y1，= -，y2.

由向量共線的充要條件可知:

-y2 = -y1，即y1y2 = -p2;

由(1)#65380;(2)可知，恒有y1y2 = -p2.

∵點C在拋物線的準線上，BC∥ x軸，

∴點C的坐標為- ，y2，

∴ = - ，y2，注意到=，y1，

∴y2 - y1-=(y1y2 + p2) =(-p2 + p2) = 0，

∴與 共線(或平行)，即A，O，C三點共線，亦即直線AC經過點O .

例4 (北京春季高考題)設點A和B為拋物線y2 = 4x上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB于點M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線?

解 設M(x，y)，A(4t12，4t1)，B(4t22，4t2)，其中x > 0， t1t2 ≠ 0且t1 ≠ t2 .則有 = (4t12，4t1)， = (4t22，4t2)， = (x，y)， = (4(t22 - t12)，4(t2 - t1)).

∵⊥ ， ∴4t12#8226;4t22 + 4t1#8226;4t2 = 0.

由t1t2 ≠ 0可知:t1t2 = -1. (1)

∵⊥ ，∴ x #8226;4(t22 - t12) + y#8226;(t2 - t1) = 0.

由t1≠t2可知:t1 + t2 = -. (2)

又 A，B，M三點共線， = (x - 4t12，y - 4t1)，= (x - 4t22，y - 4t2).

由共線向量的充要條件可知:(x - 4t12)#8226;(y - 4t2)=(x - 4t22)#8226;(y - 4t1).

即x - (t1 + t2)y + 4t1t2 = 0.(3)

將(1)#65380;(2)代入(3)式，即可得點M的軌跡方程為: (x - 2)2 + y2 = 4(x > 0)，它表示與y 軸切于原點的一個圓(不包括原點).

由以上兩例可以看到，利用向量法解解析幾何問題時，主要使用向量平行(或共線)以及向量垂直的充要條件，這樣可以有效避免解析幾何中錯綜復雜的位置關系的演化，而轉變為純粹的代數運算.當然，除了上述這兩個充要條件外，在解題中還可以利用的有向量的夾角公式及距離公式等.只要我們能對解析幾何中圖形的位置關系和數量關系進行認真分析，充分挖掘問題的向量背景，就有可能獲得一個優美的向量解法.

3. 用向量法解代數問題

由于向量的幾何特征十分明顯，所以利用向量來解決幾何問題是比較容易想到的.然而，向量法同樣可以用來解決一些代數問題.只要我們能夠認真觀察，善于挖掘代數結構的向量模型，巧妙地構造向量，就能將代數問題轉化為向量問題，收到避繁就簡的功效.請看下例:

例5 已知a2 + b2 + c2 = 1，x2 + y2 + z2 = 1，求證:ax + by + cz ≤ 1.

證明 構造向量 p = (a，b，c)，q =(x，y，z)，則由已知可得:| p | = 1，| q | = 1.

∴ ax + by + cz =| p | #8226; |q |cos θ ≤| p | | q | ≤ 1，

即 ax + by + cz ≤ 1.

例6 已知a，b，c為正數，求函數y = +的最小值.

解 設m = (x，a)，q = (c-x，b)，則原函數就為y=| p | + | q |.

∵| p | + | q | ≥ |p + q| =，當且僅當p與q同向平行時等號成立.

∴ ymin =.

從以上兩例可見，運用向量法解代數問題時，主要利用了向量的數量積及向量加法的三角不等式，關鍵在于仔細觀察問題的結構特征，而后構造出向量模型.這對培養和提高學生的觀察能力和想象能力，拓寬他們的解題思路，提高他們分析問題和解決問題的能力，都是大有幫助的.

以上僅是簡單列舉了向量在幾何和代數解題中的一些應用.其實向量在解題中的應用遠不止這些，如還可以應用向量來解三角問題#65380;復數問題，等等.限于篇幅，這里就不一一列舉了.

總之，在有些數學問題的解決中，適當地運用向量工具不僅有助于問題的解決，而且有時較傳統的方法更簡捷#65380;更方便，更重要的是這樣做還能使學生從不同的角度揭示各種知識點之間的內在聯系，拓寬其解題思路，從而激發學生的學習興趣和熱情.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”