源自生活中的新命題比數(shù)論中的一個(gè)重要定理用途更廣

【摘要】 生活中的問題：①一條直線上相鄰兩點(diǎn)的距離均為ａ，另一條直線上相鄰兩點(diǎn)的距離均為ｂ，兩條直線合成一起，將一條直線平移，在什么情況下會(huì)出現(xiàn)無數(shù)個(gè)重合點(diǎn)，此時(shí)相鄰兩點(diǎn)的距離各是多少？相鄰重合點(diǎn)之間的距離是多少？（ａ ＞ ｂ）② 兩個(gè)相等的同心圓，從一點(diǎn)起將一圓周ａ等分，另一圓周ｂ等分，相鄰兩點(diǎn)的圓心角各是多少？若將一個(gè)圓轉(zhuǎn)動(dòng)，每次轉(zhuǎn)動(dòng)多少度會(huì)再次出現(xiàn)重合點(diǎn)？（起點(diǎn)視為一個(gè)重合點(diǎn)）

能夠解決上述問題的新命題，還證明了數(shù)論中的一個(gè)重要定理（ａ與ｂ的最大公約數(shù)是ｄ，則存在著整數(shù)ｍ，ｎ，使得ａｍ － ｂｎ ＝ ｄ），很多有用的結(jié)論都是由這個(gè)定理導(dǎo)出的，這個(gè)定理在國內(nèi)外的《離散數(shù)學(xué)》中都有介紹，但有些沒有給出證明.

【關(guān)鍵詞】 平移出現(xiàn)重合點(diǎn)的數(shù)軸；與原數(shù)軸完全相同

命題：ａ與ｂ的最大公約數(shù)是ｄ，在數(shù)軸上分別畫出ａ與ｂ的整數(shù)倍的點(diǎn)，且有ａ ＞ ｂ，則有（１）相鄰重合點(diǎn)之間的距離均為 . （２） 數(shù)軸上的點(diǎn)，與重合點(diǎn)相對(duì)稱，以相鄰重合點(diǎn)的中垂線相對(duì)稱 （３） 相鄰兩點(diǎn)的距離分別為ｄ，２ｄ，…， d，在相鄰重合點(diǎn)之間，每種距離僅有兩個(gè)，且以中垂線相對(duì)稱.

理解說明：

（Ａ） 相鄰兩點(diǎn)距離是指由ａ的整數(shù)倍點(diǎn)與ｂ的整數(shù)倍點(diǎn)所形成的相鄰兩點(diǎn)，即相鄰兩點(diǎn)的距離可以由｜ａｍ － ｂｎ｜得出. 當(dāng)ａ ＞ ｂ ＋ ｄ時(shí)，相鄰兩點(diǎn)的最大距離為ｂ，在相鄰重合點(diǎn)之間存在兩個(gè)以上，但能滿足｜ａｍ － ｂｎ｜的只有兩個(gè)，因此論斷（３）的表述不存在錯(cuò)誤.

（Ｂ） ｍ，ｎ是整數(shù)時(shí)，ａｍ － ｂｎ ＝ ０在數(shù)軸上表示重合點(diǎn)，當(dāng) 是無理數(shù)時(shí)，不定方程ａｍ － ｂｎ ＝ ０只有一組整數(shù)解ｍ ＝ ０，ｎ ＝ ０，當(dāng) 是有理數(shù)時(shí)，在數(shù)軸上就會(huì)有無數(shù)個(gè)重合點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)的各種距離就可以計(jì)算出. 例如a =，ｂ =，兩點(diǎn)之間的距離可以表示為 m -n =|112m - 90n|，１１２與９０的最大公約數(shù)是２，因此相鄰兩點(diǎn)的最小距離是× 2 =， 相鄰重合點(diǎn)的距離是× = 35.

證 （１） k = a ×k = b ×k(k∈Z). 因?yàn)?k與 k 恒為整數(shù)，因此在數(shù)軸上滿足條件 k的所有點(diǎn)都是重合點(diǎn). 在這些重合點(diǎn)之間是否存在其他的重合點(diǎn)，我們就假設(shè)重合點(diǎn) k與 （ｋ ＋ １）之間還有一個(gè)重合點(diǎn) k +（ｆ∈ｚ＋），則有 k + ＜（k + 1）?圯 ＜ ?圯 f ＞ d ?圯與 至少有一個(gè)不是整數(shù).k + = a ×k+= b ×k+ ，由以上論述可知 k +與 k +至少有一個(gè)不是整數(shù)，因此 k +不是重合點(diǎn)，即重合點(diǎn) k與 （k + 1）是相鄰的兩個(gè)重合點(diǎn)，所以相鄰重合點(diǎn)的距離為 （ｋ ＋ １） －k =.

（２）把ａ的整數(shù)倍點(diǎn)畫在數(shù)軸的上方，把ｂ的整數(shù)倍點(diǎn)畫在數(shù)軸的下方，單獨(dú)觀察數(shù)軸上方的點(diǎn)，任意取一個(gè)點(diǎn)，其他的點(diǎn)都以這個(gè)點(diǎn)相對(duì)稱，任意取兩個(gè)相鄰的點(diǎn)做中垂線，數(shù)軸上方的點(diǎn)以這個(gè)中垂線相對(duì)稱. 同樣觀察數(shù)軸下方的點(diǎn)，也具有這樣的性質(zhì).

重合點(diǎn)是數(shù)軸上方的一個(gè)點(diǎn)，也是數(shù)軸下方的一個(gè)點(diǎn)，所以數(shù)軸上的所有點(diǎn)都以重合點(diǎn)相對(duì)稱.

任意取兩個(gè)相鄰重合點(diǎn)做中垂線，這個(gè)中垂線過數(shù)軸上方的一個(gè)點(diǎn)，或者過數(shù)軸上方相鄰兩點(diǎn)的中點(diǎn)，同樣這個(gè)中垂線也過數(shù)軸下方相鄰兩點(diǎn)的中點(diǎn)，或者過數(shù)軸下方的一個(gè)點(diǎn)，所以數(shù)軸上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)，都以這個(gè)中垂線相對(duì)稱.

（３）把ａ的整數(shù)倍點(diǎn)用紅色標(biāo)在數(shù)軸的上方，把ｂ的整數(shù)倍點(diǎn)用黑色標(biāo)在數(shù)軸的下方. 假設(shè)數(shù)軸下方的黑點(diǎn)可以整體平移，平移到任意有重合點(diǎn)的位置，任意選取一個(gè)重合點(diǎn)定為零點(diǎn)，同樣可證明論斷（１），論斷（２）是成立的，所以平移后出現(xiàn)重合點(diǎn)的數(shù)軸，與原數(shù)軸完全相同，相鄰兩點(diǎn)最小距離也是相等的，且以相鄰重合點(diǎn)的中垂線相對(duì)稱，因此可以推斷，如果相鄰兩點(diǎn)最小距離是ｘ，黑點(diǎn)每次只整體平移ｘ個(gè)單位長度，無論向左還是向右平移多少次，都會(huì)出現(xiàn)重合點(diǎn). 當(dāng)ａ ＞ ｂ時(shí)，相鄰兩點(diǎn)的最大距離就是ｂ，當(dāng)把數(shù)軸下方黑點(diǎn)整體平移ｂ個(gè)單位長度時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)重合點(diǎn)，這就是說明ｂ是ｘ的整數(shù)倍，下面就來討論如果每次平移ｘ個(gè)單位長度，經(jīng)過多少次的同向平移，移動(dòng)的總長度是ｂ個(gè)單位長度.

任意選取兩個(gè)相鄰的重合點(diǎn)，并在重合點(diǎn)的紅點(diǎn)處做上標(biāo)記，每次平移ｘ個(gè)單位長度，在有標(biāo)記的兩個(gè)紅點(diǎn)之間，只會(huì)出現(xiàn)一個(gè)重合點(diǎn)，如果出現(xiàn)一個(gè)以上的重合點(diǎn)，相鄰重合點(diǎn)的距離就有小于 的，如果不出現(xiàn)重合點(diǎn)，相鄰重合點(diǎn)的距離就有大于 的，由以上的論述可知這兩種情況是不可能出現(xiàn)的. 在有標(biāo)記的相鄰重合點(diǎn)之間的- 1個(gè)紅點(diǎn)÷ a = ，不包括兩側(cè)重合點(diǎn)的紅點(diǎn)，每一個(gè)紅點(diǎn)與兩側(cè)相鄰黑點(diǎn)的距離之和均為ｂ，因此在向同一方向平移總長為ｂ的過程中，每一個(gè)紅點(diǎn)只有一次成為重合點(diǎn). 又因?yàn)槊科揭疲鴤€(gè)單位長度，僅有一個(gè)紅點(diǎn)成為重合點(diǎn)，由此可知平移次數(shù)等于紅點(diǎn)個(gè)數(shù)加一，即有［- 1 + 1］x = b，也就是相鄰兩點(diǎn)的最小距離是ｄ.

由以上論述可知，每次平移ｄ個(gè)單位長度，在有標(biāo)記的兩個(gè)紅點(diǎn)之間，僅有一個(gè)紅點(diǎn)成為重合點(diǎn)，經(jīng)過 次同向平移，使有標(biāo)記的兩個(gè)點(diǎn)之間的每一個(gè)紅點(diǎn)，都有一次成為重合點(diǎn)，由此可知在相鄰重合點(diǎn)之間，紅點(diǎn)和黑點(diǎn)相鄰的距離中，一定存在ｄ，２ｄ，…， d這些值；因?yàn)橄噜徶睾宵c(diǎn)之間的點(diǎn)，以這兩個(gè)重合點(diǎn)的中垂線相對(duì)稱，所以每種距離至少有兩個(gè)，且對(duì)稱存在. 又因?yàn)樵谙噜徶睾宵c(diǎn)之間，每個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)黑點(diǎn)相鄰，兩側(cè)重合點(diǎn)可形成兩個(gè)最大的相鄰距離ｂ，因此紅點(diǎn)與黑點(diǎn)相鄰距離的總個(gè)數(shù)是2- 1+ 2 = 2 ，這也說明在相鄰重合點(diǎn)之間，每種距離僅有兩個(gè)，且以中垂線相對(duì)稱.

推論１ ａ與ｂ的最大公約數(shù)為ｄ，ｍ與ｎ是整數(shù)，則|am ± bn|的最小非零值是ｄ.

推論２ 兩個(gè)相等的同心圓，從一點(diǎn)起將一圓周ａ等分，另一圓周ｂ等分，將一圓任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若ａ與ｂ的最大公約數(shù)是ｄ，則每轉(zhuǎn)動(dòng) 度就有ｄ個(gè)重合點(diǎn)平分兩圓.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”