淺談函數(shù)定義域與思維品質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)

思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn). 它包括思維的嚴(yán)密性#65380;思維的靈活性#65380;思維的深刻性#65380;思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì). 函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終. 函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問(wèn)題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途. 在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的.

一#65380;函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的.

例1 某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為100 m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式?

解 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為(50 - x)米，由題意得:

S = x(50 - x).

故函數(shù)關(guān)系式為:S = x(50 - x) .

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍. 也就說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密. 因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍:0 < x < 50，即函數(shù)關(guān)系式為:S = x(50 - x)，(0 < x < 50).

這個(gè)例子說(shuō)明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響. 若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性;若注意到定義域的變化，就說(shuō)明學(xué)生的解題思維過(guò)程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性.

二#65380;函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問(wèn)題. 如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤.

例2 求函數(shù)y = x2 - 2x - 3在[-2，5]上的最值.

解 ∵ y = x2 - 2x - 3 = (x2 - 2x + 1) - 4 = (x - 1)2 - 4，

∴ 當(dāng)x = 1時(shí)，ymin = -4.

初看結(jié)論，本題似乎沒(méi)有最大值，只有最小值. 產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒(méi)有注意到已知條件發(fā)生了變化. 這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說(shuō)明學(xué)生思維缺乏靈活性. 其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)y = ax2 + bx + c(a > 0)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況:

(1) 當(dāng)-< p時(shí)，y = f(x)在[p，q]上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)min = f(p)，f(x)max = f(q);

(2)當(dāng)-> q時(shí)，y = f(x)在[p，q]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)max = f(p)，f(x)min = f(q);

(3) 當(dāng)p≤-≤ q時(shí)，y = f(x)在[p，q]上最值情況是:f(x)min = f-=，f(x)max = max{f(p)，f(q)}.即最大值是f(p)，f(q)中最大的一個(gè)值.

故本題還要繼續(xù)做下去:

∵ -2 ≤ 1 ≤ 5，f(5) = 52 - 2 × 5 - 3 = 12，

∴ f(-2) = -(-2)2 - 2 × (-2) - 3 = -3，

∴ f(x)max = max{f(-2)，f(5)} = f(5)=12.

∴ 函數(shù)y = x2 - 2x - 3在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.

這個(gè)例子說(shuō)明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過(guò)程中加以注意，便能體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性.

三#65380;函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定時(shí)，函數(shù)值也隨之而定. 因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域.

例3 求函數(shù)y = 4x - 5 +的值域.

錯(cuò)解 令t =，則2x = t2 + 3.

∴ y = 2(t2 + 3) - 5 + t = 2t2 + t + 1 = 2t +2+≥，

故所求的函數(shù)值域是 ，+∞ .

剖析 經(jīng)換元后，應(yīng)有t ≥ 0，而函數(shù)y = 2t2 + t + 1在[0，+∞)上是增函數(shù)， 所以當(dāng)t = 0時(shí)，ymin = 1.

故所求的函數(shù)值域是[1， +∞).

以上例子說(shuō)明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過(guò)程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生. 也就是說(shuō)，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過(guò)程，便能體現(xiàn)出良好的思維批判性.

四#65380;函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行.

例4 指出函數(shù)f(x) = log2(x2 + 2x)的單調(diào)區(qū)間.

解 (先求定義域)∵ x2 + 2x > 0，∴ x > 0 或x < -2，

∴ 函數(shù)定義域?yàn)?-∞，-2)∪(0，+∞).

令u = x2 + 2x，知在x∈(-∞，-2)上時(shí)，u為減函數(shù);

在x∈(0，+∞)上時(shí)，u為增函數(shù).

又∵ f(x) = log2 u在[0，+∞)是增函數(shù).

∴函數(shù)f(x) = log2(x2 + 2x)在(-∞，-2)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù). 即函數(shù)f(x) = log2(x2 + 2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，-2).

如果在做題時(shí)，沒(méi)有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒(méi)有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說(shuō)明學(xué)生的思維缺乏深刻性.

五#65380;函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)就無(wú)奇偶性可談. 否則要用奇偶性定義加以判斷.

例5 判斷函數(shù)y = x3，x∈[-1，3]的奇偶性.

解 ∵ 2∈[-1，3]而-2?埸[-1，3]，

∴ 定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，

∴ 函數(shù)y = x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù).

若學(xué)生像以上這樣的過(guò)程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性;如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論:

∵ f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)，

∴ 函數(shù)y = x3，x∈[-1，3]是奇函數(shù).

錯(cuò)誤剖析 因?yàn)橐陨献龇ㄊ窃跊](méi)有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的前提下直接加以判斷造成的，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因.

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式#65380;最值(值域)#65380;單調(diào)性#65380;奇偶性等問(wèn)題時(shí)，若能精細(xì)地檢查思維過(guò)程，思辨函數(shù)定義域有無(wú)改變(指對(duì)定義域?yàn)镽來(lái)說(shuō))，對(duì)解題結(jié)果有無(wú)影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”