經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型及其擴(kuò)展

[摘要] 本文對(duì)經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型進(jìn)行了擴(kuò)展，分別建立了考慮購(gòu)買貨物本身費(fèi)用的模型和不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型，得出了最優(yōu)的生產(chǎn)訂貨計(jì)劃。

[關(guān)鍵詞] 存貯模型 經(jīng)濟(jì)訂貨批量 生產(chǎn)銷售存貯模型

存儲(chǔ)管理是企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)管理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是降低成本提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的有效途徑和方法。著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）在實(shí)際生活和工作中得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在超市、物流等領(lǐng)域。存儲(chǔ)模型主要分為不允許缺貨和允許缺貨兩大類，本文在這兩類模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)工作的需要，做了一些擴(kuò)展，以期為企業(yè)的庫(kù)存決策提供一定的依據(jù)。

一、不允許缺貨的存貯模型

該模型最早由F.W.Harris提出，后來(lái)Wilson把其結(jié)果納入存貯管理系統(tǒng)方面做了積極工作。它適用于一旦出現(xiàn)缺貨會(huì)造成重大損失的情況（如煉鐵廠對(duì)原料的需求）。

先考慮這樣的問(wèn)題：配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要支付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)(與生產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān))，同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。現(xiàn)已知某一部件的日需求量是100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)是每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次，每次產(chǎn)量多少，可使每天平均費(fèi)用最小。

為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期和產(chǎn)量為連續(xù)量。根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)做如下假設(shè)：1產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為;3生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），當(dāng)貯存量降到零時(shí)，件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來(lái)供給需求，即不允許缺貨。

將貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)，顯然，一個(gè)周期內(nèi)的貯存費(fèi)是，于是一周期的總費(fèi)用為：，每天的平均費(fèi)用為:。利用微分法得到最優(yōu)解為:。

這就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）。由上式可以看到，當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)貯存費(fèi)增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變小；當(dāng)日需求量增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。

二、允許缺貨的存貯模型

在某些情況下用戶允許短時(shí)間的缺貨，雖然會(huì)造成一定的損失，但是如果損失費(fèi)不超過(guò)不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)的話，允許缺貨就應(yīng)該是可以采取的策略。這類模型適用于像商店購(gòu)貨之類的情形，缺貨造成的損失是可以允許和估計(jì)的。不允許缺貨模型的假設(shè)1、2不變，假設(shè)3改為：3a.生產(chǎn)能力無(wú)限大（相對(duì)于需求量），允許缺貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費(fèi)為，但缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)（或訂貨）時(shí)不足。

因貯存量不足造成缺貨時(shí)，可以認(rèn)為貯存量函數(shù)為負(fù)值，周期仍記為是每周期初的貯存量，于是有。在到這段缺貨時(shí)段內(nèi)需求率不變。由于規(guī)定缺貨量需補(bǔ)足，所以在時(shí)數(shù)量為的產(chǎn)品立即到達(dá)，使下周期初的貯存量恢復(fù)到。

一個(gè)周期內(nèi)的貯存費(fèi)是，缺貨的損失費(fèi)是，于是一周期的總費(fèi)用為:，每天的平均費(fèi)用為:。利用微分法得到最優(yōu)解為:。

當(dāng)即缺貨損失費(fèi)無(wú)窮大時(shí)，允許缺貨模型的最優(yōu)解近似于不允許缺貨模型的最優(yōu)解。可見(jiàn)不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例。

三、考慮購(gòu)買貨物本身的費(fèi)用

如果在上述兩個(gè)存貯模型中考慮購(gòu)買貨物本身的費(fèi)用，則應(yīng)在總費(fèi)用中增加貨物購(gòu)買費(fèi)，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。設(shè)購(gòu)買單位重量貨物的費(fèi)用為m。

對(duì)于允許缺貨的模型，總費(fèi)用為:，于是每天的平均費(fèi)用為:。利用微分法得到最優(yōu)解為:。

對(duì)于不允許缺貨的模型，總費(fèi)用為:，于是每天的平均費(fèi)用為:，得到最優(yōu)解為:總費(fèi)用中增加購(gòu)買貨物本身的費(fèi)用，確定的最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都與原模型的結(jié)果一樣。

四、不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型

在實(shí)現(xiàn)生活中，很多廠家都是邊生產(chǎn)邊銷售，對(duì)于這種情形，我們同樣可以建立模型，求出其最優(yōu)的生產(chǎn)周期。

設(shè)生產(chǎn)的速率為常數(shù)，銷售的速率為常數(shù)。在生產(chǎn)周期內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間()一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來(lái)的一段時(shí)間()只銷售不生產(chǎn)。設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，不允許缺貨。邊生產(chǎn)邊銷售時(shí)，貯存量，只銷售不生產(chǎn)時(shí)，貯存量，令得。總費(fèi)用為:，于是每天的平均費(fèi)用為:。利用微分法得到最優(yōu)解為:。

當(dāng)時(shí)，，相當(dāng)與不考慮生產(chǎn)的情況。當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫a(chǎn)量被銷售量抵消，無(wú)法形成貯存量。

五、結(jié)束語(yǔ)

由于存貯問(wèn)題的管理模型并不復(fù)雜，原理也容易掌握，該模型的應(yīng)用可以改善企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理，以達(dá)到節(jié)約資金，獲得更多利潤(rùn)的目的。

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