投資收益和風(fēng)險的量化分析

基金項目: 應(yīng)用型本科院校“十一五”國家課題(FIB070335-A2-02);南通大學(xué)自然科學(xué)研究課題(07Z002);南通大學(xué)高等教育研究課題(08GJ007);南通大學(xué)2008年團建課題。

在現(xiàn)代商業(yè)、金融的投資中，投資者最關(guān)心的是采用什么樣的投資方式以使得總收益最大.然而， 投資是要承擔(dān)風(fēng)險的， 作為投資者， 又希望其投資風(fēng)險盡可能小.而且，大的收益總是伴隨著高的風(fēng)險.一般在有很多種資產(chǎn)可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風(fēng)險就越小. 為了同時兼顧收益和風(fēng)險，追求大的收益和小的風(fēng)險構(gòu)成一個雙目標(biāo)決策問題，依據(jù)決策者對收益和風(fēng)險的理解和偏好將其轉(zhuǎn)化為一個單目標(biāo)最優(yōu)化問題求解.隨著投資者對收益和風(fēng)險的日益關(guān)注，如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證.傳統(tǒng)的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個藍(lán)子里”的原則， 將投資分散化。

一、問題的提出

某公司有數(shù)額為M（較大）的資金，可用作一個時期的投資，市場上現(xiàn)有5種資產(chǎn)（Si）(如債券、股票等)可以作為被選的投資項目，投資者對這五種資產(chǎn)進行評估，估算出在這一段時期內(nèi)購買Si的期望收益率（ri）、交易費率(pi)、風(fēng)險損失率(qi)，以及同期銀行存款利率r0（r0=3%）在投資的這一時期內(nèi)為定值如表1，不受意外因素影響，而凈收益和總體風(fēng)險只受ri，pi，qi影響，不受其他因素干擾。現(xiàn)要設(shè)計出一種投資組合方案， 使凈收益盡可能大， 風(fēng)險盡可能小。

表1

其中i=0，1，2，3，4，5。

二、模型的分析與建立

設(shè)xi表示購買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額占資金總額的百分比，則Mx0及Mxi分別表示存銀行的金額和購買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額；設(shè)R表示凈收益，Q表示總體風(fēng)險，假定總體風(fēng)險可用投資的這五種中最大的一個風(fēng)險來度量；在投資中，不考慮通貨膨脹因素，因此所給的Si的期望收益率ri為實際的平均收益率。則根據(jù)假設(shè)，凈收益為;總體風(fēng)險為;約束條件為;因為M為固定值，不影響模型的求解，故可略去M，原問題化為雙目標(biāo)規(guī)劃問題:

（2.1）

設(shè)，否則不對該資產(chǎn)投資。

三、模型的求解

文獻考慮固定Q使R最大的模型，得到了最優(yōu)收益值R和最小風(fēng)險度Q，以及投資額分配之間的對應(yīng)關(guān)系，本文考慮固定R使Q最小的模型，即當(dāng)收益達(dá)到一定值時，如何使投資的風(fēng)險最小，將模型(2.1)化為

（3.1）

此模型又可改寫為

令表示第種投資的凈收益率，則必大于，否則，若，則不對Si投資，因為對該項目投資純收益率不如存銀行， 而風(fēng)險損失率又大于存銀行。將從小到大排序，設(shè)最大，則易見對模型（3.1）的可行解必有.

當(dāng)R=0.03時， 所有資金都存銀行，Q=0;當(dāng)時， 所有資金用于購買Si，;當(dāng)時，易知在5項投資總額一定的前提下，各項投資的風(fēng)險損失相等即時，總體風(fēng)險最小。

因此，當(dāng)時，可按以下步驟求出最優(yōu)解：1）將（3.1）中的（1）式和（2）式消去x0;2）將代入解出Q；3）由求出最優(yōu)解。

算得如下結(jié)果:

（1）R=0.03時，；

（2）R=0.26/1.01時，；

（3）時，，，

事實上應(yīng)用Lingo軟件可算得如下結(jié)果:

根據(jù)表2的數(shù)據(jù)繪制風(fēng)險與收益的變化趨勢圖：

從上表和上圖可以看出，收益越大，風(fēng)險也越大，冒險的投資者可能會集中投資，而保守的投資者則會盡量分散投資。但在R=0.2左邊，收益增加很大時風(fēng)險卻增加得相對緩慢，而在R=0.2右邊，收益增加很少時風(fēng)險增加卻很快。所以作為理性的投資者，可以選擇點作為最佳投資組合，此時，各項投資的資金比例分別為

。

參考文獻：

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[2]袁新生邵大宏郁時煉:LINGO和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京: 科學(xué)出版社，2007