論數學教學中理解錯誤的合理性

在數學學習中有一些錯誤是學生基于自己的知識與經驗在構建知識的過程中產生的，具有一定的合理性。理解錯誤的合理性有利于數學教學動態資源的開發，有利于激發學生的學習動力，有利于了解學生的認知基礎，有利于提高教師的教學能力，我們可以從情境上、推理上及學生認知水平上三個角度理解學生錯誤的合理性。

1 理解錯誤在情境上的合理性

現代學習論認為知識是情境性的，學生的學習是一種情境性學習，在數學學習中學生會基于自己的生活情境進行意義的建構，而學生在其具體生活情境中抽象出的數學知識不一定具有普遍性，從而可導致錯誤的產生，但這其中又往往蘊含了合理性成分。如在學習1/2+1/3=?時，教師先問學生應等于多少，讓學生去探究。有很多學生認為是2/5，并給出了他的根據：“有一次投籃。我先投了兩個球，進了一個；后來我又投了三個球，又進了一個球，我第一次進球的概率是1/2，第二次進球的概率是1/3，而總的進球概率是2/5，這不說明1/2+1/3=2/5嗎?……”并且這一情況在國內外的教學中有同樣的相似性，實際上在日常生活中有許多情況是滿足這一規律的，如足球比賽的比分，溶液的混合問題等等，基于這些學生得出這一結論在情境上是合理的，并且其中含有一種數學化的過程，對學生來說也是一種數學發現的過程，但它不是一種更普遍的規律，不符合數學上的標準，因而這一結論又是錯誤的。教師理解了這種合理性，從學生的角度進行辯證分析、引導與提升，能激發學生不斷增長的求知欲望，為學生解惑，讓學生創造，使數學課堂教學得以創生。

2 理解錯誤在推理上的合理性

學生在學習新的知識時，遇到規律性或相似性等問題，會基于自己已有的知識經驗進行不完全歸納、類比等合情推理活動，而這種推理與數學上嚴密的演繹性推理不同。這種推理的結論有時是不正確的，但基于以前的知識經驗又有一定的合理性。從推理上的合理性去理解學生存在的問題，這一點對挖掘錯誤的教育價值，讓學生充分理解所學的知識是重要的。如在《找規律》(蘇教版四年級下冊)第二課時教學有如下練習：

題一：3位小朋友每兩人通一次電話，一共通了多少次?

如果用A、B、C分別代表這三位小朋友，打電話的不同路線有三種：A與B；A與C；B與C一共通了3次電話：

題二：三位小朋友互相寄一張節日賀卡，一共寄了多少張?

有些學生解決了題一后，在做題二時把題二與題一進行類比，認為三位小朋友互相寄一張節日賀卡一共也是三張。事實上。“每兩人通一次電話”只要一次電話，而兩人“互相寄一張節日賀卡”是寄了兩張節日賀卡，三人一共要寄六張賀卡。雖然結果錯了，但這些學生運用了兩題中條件與方法上的一些相似性進行類比，其中又有合理的地方，教師要從學生推理的角度深入分析，讓他們理解二者的不同，認清錯在哪兒。

3 理解錯誤在學生認知水平上的合理性

根據皮亞杰的認知發展階段理論，處于不同年齡段的學生其認知水平是不同的，并且同一年齡段的學生也可能存在差異，這種差異導致不同的學生對同一個問題產生不同的學習方式，產生不同的理解，從而得出不同的結論，有的是正確的，而有的是錯誤的，這種錯誤從學生的認知水平上來說是有其合理性的。如在《認識鐘表》(蘇教版)一課時，題一(如圖1)給出鐘表面，學生一般能準確寫出是幾時幾分，而問題反過來，題二給出幾時幾分，讓學生在鐘表面上畫出時針與分針的位置，有很多學生做錯了。

進一步分析發現。學生的錯誤主要是時針都準確地指在“2”與“9”上，而沒有想到分針動，時針也要動，并且分針與時針的運動之間還有12:1的比例關系。對這種動態的內在聯系的認識。在認知能力上超出了一些學生的能力水平，教師應認識這一點，對學生應提出多層次的要求。而不是一概而論。