除到每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)為止嗎

人教版九年義務(wù)教育六年制小學(xué)《數(shù)學(xué)》第十冊(cè)第75頁(yè)例4：求8、12和30的最小公倍數(shù)。教材結(jié)合例4解釋求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)算理后指出求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，通常這樣做：

8、12和30的最小公倍數(shù)是2×2×3×2×5=120。

求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是沒(méi)有除到兩兩互質(zhì)就停止了。這也是求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的難點(diǎn)。所以在教學(xué)中教師往往強(qiáng)調(diào)除到兩兩互質(zhì)即所得的商每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。

學(xué)生課后在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)出現(xiàn)了三個(gè)商都是1這種情況，例如：本冊(cè)書(shū)第77頁(yè)第¨題中有這樣一小題求12、15和20的最小公倍數(shù)。學(xué)生用短除法解答如下：

12、15和20的最小公倍數(shù)是3×5×4=80

學(xué)生提問(wèn)：“1和1是互質(zhì)數(shù)嗎?”學(xué)生的問(wèn)題也讓我陷入了沉思之中。在教研組討論中，有的同志認(rèn)為1和1是互質(zhì)數(shù)，對(duì)這種看法我不敢茍同，因?yàn)椤肮s數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)”，1和1不是兩個(gè)不同的數(shù)，不構(gòu)成互質(zhì)數(shù)的必要條件。人教版九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)《教師教學(xué)用書(shū)》關(guān)于求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)和教科書(shū)上強(qiáng)調(diào)的地方相同也是：“一直除到每?jī)蓚€(gè)都是互質(zhì)數(shù)(通常叫做兩兩互質(zhì))為止。”

怎樣解釋“除到每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)為止”與學(xué)生在練習(xí)中得到三個(gè)商都是1之間的矛盾呢?筆者經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考認(rèn)為還應(yīng)從求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的算理中找答案。三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)必須包含三個(gè)數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)、每?jī)蓚€(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)以及各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。這里筆者把求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)分為兩類：一類是三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)含有自己獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。如例4：求8、12和30的最小公倍數(shù)。8和30分別含有自己獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)2和5。這類數(shù)如果用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，就要除到每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)為止，而且也能得到每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。另一類是三個(gè)數(shù)中沒(méi)有一個(gè)數(shù)含有自己獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)，即只含有三個(gè)數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)或每?jī)蓚€(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)。例如12、15和20，3是12和15兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，5是15和20兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，4是12和20兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，三個(gè)數(shù)中沒(méi)有一個(gè)數(shù)含有自己獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。又如4、6和12以及14、21和42等也是這種情況。這類數(shù)如果用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，除得結(jié)果就是三個(gè)數(shù)的商都是1，而得不到每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。

所以筆者認(rèn)為求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)要深刻理解算理，緊緊抓住算理并用算理指導(dǎo)算法。求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的方法有多種，如短除法、互質(zhì)數(shù)法和倍數(shù)法等。短除法是求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的常用方法，短除法的目的是找出三個(gè)數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)、每?jī)蓚€(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)以及各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。也就是先用三個(gè)數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)去除，再用每?jī)蓚€(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)去除，一直除到所得的商每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)或所得的商都是1為止。教學(xué)中如果只強(qiáng)調(diào)“一直除到每?jī)蓚€(gè)都是互質(zhì)數(shù)(通常叫做兩兩互質(zhì))為止”，而忽視對(duì)求三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)算理的理解，學(xué)生對(duì)所得的三個(gè)商都是1這種情況與一直除到“每?jī)蓚€(gè)都是互質(zhì)數(shù)(通常叫做兩兩互質(zhì))為止”的要求容易產(chǎn)生誤解。