數學是一種組合

數學解題方法論的開拓者喬治·波利亞提出，數學是一種組合。波利亞提出“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”。2007年寧波市中考試題第27題是：

四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點。如圖1，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點。

(1) 如圖2，畫出菱形ABCD的

一個準等距點。

(2) 如圖3，作出四邊形ABCD

的一個準等距點（尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）。

(3) 如圖4，在四邊形ABCD中，

P是AC上的點，PA=PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF。求證：點P是四邊形ABCD的準等距點。

(4) 試研究四邊形的準等距點個數的情況（說出相應四邊形的特征及準等距點的個數，不必證明）。

筆者認為，這道中考“壓軸題”較好地體現了數學教育的新理念，對初中數學教育的目標和方法具有指導意義。這道題的考查過程是一個非常精致的課堂教學過程。

一般地，對考生而言，問題有三個特征，首先是問題的接受性：學生愿意并且具有解決它的知識基礎和能力基礎。本題的四邊形的準等距點是一個陌生的數學概念，可以想象，考生在審題中，當讀到四邊形的準等距點時肯定是大吃一驚，但考題一開始對四邊形的準等距點的含義進行了說明，同時為了加深理解，考題利用“如圖1”作了形象的解釋，相信考生只要冷靜地審題，四邊形的準等距點概念是可接受的，考生具有理解它的知識基礎和能力基礎。這時，可能有很多考生很匆忙地去解答第一個問題，在解答過程中，一般考生都會尋找到菱形的兩條對角線的交點不是所求作的準等距點，但除去這一點的對角線上的其他點都是準等距點。實際上，這樣的解答過程考生沒有考慮準等距點是怎樣形成的，沒有考慮這樣的點與我們所學知識有何內在聯系，給問題2的解答無形中設置了障礙。

為什么會這樣？

這是因為考生忽略了問題的第二個特征，這就是問題的障礙性：學生不能直接看出它的解法和答案，而必須經過思考才能解決。其實，考生需要考慮的是由PD=PB，聯想到了什么？可以聯想到點P是連接BD所成線段的中垂線上的點，這就是我們學過的知識！由此，考生很自然地真正理解這里四邊形的準等距點是連接BD所成線段的中垂線與對角線AC的交點。這樣，對于問題1，菱形的對角線互相垂直平分，對角線AC上除去兩條對角線的交點外，其他各點都是菱形的準等距點；相同地，對角線BD上的點亦然。只有對四邊形的準等距點有充分的理解，相信考生對于問題2必將迎刃而解，只要作線段BD的中垂線與對角線AC的交點，即是所求作的準等距點。

我們說，數學的本質活動是思維。人的思維依賴于必要的知識和經驗，數學知識正是解題思維活動的出發點和憑借。考生在順利完成問題2后，思維活動被問題的設計者（命題教師）真正調動起來，考生在對問題3的審題過程中，相信能夠比較自然地發現本題的關鍵是證明PD=PB，如何證明？利用三角形全等。已知∠CDF=∠CBE，CE=CF，考生應該能夠發現公共角這個隱含條件，得出△BCE≌△DCF（AAS）；根據三角形全等的性質得出BC=DC，很自然地發現連接BD是解答本題的一個不錯選擇。

再次，問題的第三個特征是探究性：學生不能按照現成的套路去解，需要進行探索，尋找新的處理方法。對于問題4，真正考查考生的歸納能力，具有很強的開放性，如何運用簡練的語言去說明四邊形的特征將是對考生的一個最大考驗，同時也最能體現考生的數學能力。一般考生可能只是從現有的知識基礎和能力基礎出發，給出已學過的特殊四邊形（如平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等）的形狀上去解答問題4。其實，對于問題4，需要考生對已有知識結構進行優化，從對角線的特征上尋找出最優的一般特征：

①當四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數為0個；

②當四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經過另一對角線的中點時，準等距點的個數為1個；

③當四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經過另一條對角線的中點時，準等距點的個數為2個。

④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數個。

一般來說，中考的“壓軸題”最能體現數學教育的方向，能最好地考查考生的數學學習能力，本題亦是如此。

在課堂教學過程中，我們也能遇到類似的問題設計過程：

我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”。利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O，連接OA，OC。顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE∥AC交CD于點E，則直線AE即為一條“好線”。

(1) 試說明直線AE是“好線”的理由；

(2) 如圖5，AE為一條“好線”，F為AD邊上的一點，請作出經過F點的“好線”，并對畫圖作適當的說明（不需要說明理由）。

我們發現，兩道問題的設計過程如出一轍，問題的解答過程這里不作敘述。學生的知識不是一種堆砌，而是一種組合。如何設計課堂教學過程，讓學生的數學學習能力不斷提高，顯得尤為重要。數學是一種組合，如何優化學生已有知識結構，相信2007年寧波市中考題已經給了我們一種很好的啟示。

（寧波市鄞州區高橋中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。