探索勾股定理

教學內(nèi)容：

浙教版義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》，初中八年級（上）第二章第六節(jié)（第一課時）。

教學目標：

一、 知識與技能目標

(1) 能說出勾股定理的內(nèi)容。

(2) 掌握勾股定理，能用勾股定理解決有關(guān)簡單幾何問題。

二、 過程與方法目標

(1)經(jīng)歷探索勾股定理的過程，發(fā)展學生的推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。

(2)在探索勾股定理的過程中，讓學生經(jīng)歷“觀察——猜想——歸納——驗證”的數(shù)學學習過程，發(fā)展學生歸納、概括和有條理地表達活動及結(jié)論的能力。

三、情感與態(tài)度目標

通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學生發(fā)奮學習。在探索勾股定理的過程中，體驗成功的樂趣。

重點和難點：

教學重點：探索、驗證勾股定理。

教學難點：勾股定理的證明及應用。

教學過程：

一、 設置問題，引發(fā)認知沖突

你會算嗎？受臺風韋伯的影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？（讓學生思考2分鐘）。

師：同學們想要順利地解決這個問題，還得需要新的知識，這就是我們要學習的勾股定理。

（設計意圖）以去年9月18日臺風韋伯為實際背景，引入新課，不僅自然，而且反映了數(shù)學來源于實際生活，數(shù)學是從人的需要中產(chǎn)生這一認識的基本觀點，同時也體現(xiàn)了知識的發(fā)生過程，而且解決問題的過程也是一個“數(shù)學化”的過程。

二、 勾股定理的探索，證明過程及命名

1. 猜想結(jié)論。

(1)如圖1所示，分別以Rt△ABC的三邊向外作正方形，你能發(fā)現(xiàn)這三個正方形面積之間的關(guān)系嗎？并進一步探索直角三角形的三邊所滿足的關(guān)系式。操作說明：拖動Rt△ABC點A與B。可分別改變Rt△ABC的兩直角邊的長，并計算出三個正方形的面積。

(2)對比顯示銳角三角形、鈍角三角形的三邊的平方不存在這種關(guān)系，因此它是直角三角形所特有的性質(zhì)，讓學生用語言來敘述他的猜想。

(3)定理命名。教師用彎曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，板書勾股定理，進而給出字母表達式，并指出勾股定理是幾何學的兩大寶藏之一，猜想：如果直角三角形的兩直角邊邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么有a2+b2=c2。

（設計意圖）利用超級幾何畫板軟件設計任一直角三角形，自動測量，讓學生去觀察發(fā)現(xiàn)與猜想。通過計算機來構(gòu)造數(shù)學對象，在觀察動態(tài)的圖形變化中，直觀體驗了任意性的含義，深入理解任意性在數(shù)學中所起的作用。同時計算機提供快速反饋測量結(jié)果，進行驗證猜想的能力，使學生有更多的時間從事于更高層次的數(shù)學思維活動。

2. 結(jié)合圖形，探求猜想證明。

師：我們的猜想得到了初步的驗證，但還不能說我們的猜想對其他的直角邊、邊的長度也成立，這就需要經(jīng)過嚴格的證明。我國古代的趙爽用了一個有四個全等的直角三角形組成的拼圖，就能證明現(xiàn)在的猜想。用超級畫板動態(tài)顯示弦圖，師生共同探求并完成證明過程。師生再次共同探求并完成證明過程。向?qū)W生扼要簡介相關(guān)勾股定理的證明情況。然后用超級畫板動態(tài)顯示拼圖證明勾股定理。先把正方形分成四塊，按剪拼按鈕，五個圖形可以拼成一個大的正方形。（如圖2）

3. 導出定理。

師：以上經(jīng)過證明的猜想。揭示了直角三角形的一個規(guī)律，也是我們今天要和同學們一起學習的新知識——勾股定理。師生共同完善定理的敘述。向?qū)W生簡介勾股定理的相關(guān)歷史，對學生進行愛國主義教育。向?qū)W生簡介畢達哥拉斯和他的百牛定理。

三、勾股定理的應用

1. 練一練，鞏固新知。

例1.已知△ABC中，∠C=RT∠，BC=a，AC=b，BC=c。(1)已知：a=1，b=2，求c。(2)已知：a=15，c=17，求b。教師板書(1)的規(guī)范過程，讓學生練習(2)。

2. 解決問題，新知作用展現(xiàn)。

(1) 師：現(xiàn)在我們可以運用剛學習的勾股定理來解決上課開始提出的問題。可把具體的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，借助于今天所學的勾股定理來解決。師生共同運用新知解題，共同分享成功的喜悅！

(2)實際應用。一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，問題：1) 若梯子底端離墻7米，這梯子的頂端距地面有多高？2) 如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑動了4米嗎？

學生共同討論，完成，教師指導。

四、 歸納小結(jié)，知識升華

1.歸納：①勾股定理的概念；②介紹“勾、股、弦”的含義（指出在國外，勾股定理又被稱為“畢達哥拉斯定理”“百牛定理”“驢橋定理”等）。

2.小結(jié)：①這節(jié)課你學到了什么知識?②我們經(jīng)歷了怎樣的過程?學生談體會，教師進行補充、總結(jié)。

3. 作業(yè)布置：①上網(wǎng)查詢百牛定理、驢橋定理的來歷。②收集有關(guān)勾股定理的證明方法。③作業(yè)本2.6(1)。

設計思路：

本節(jié)課采用“實際問題——實驗操作——發(fā)現(xiàn)——驗證——應用”的模式展開。通過設置生活中實際問題，引導學生積極參與，自行探索，獲得親身體驗，使學生在教師的指導下深刻理解定理的生成過程，進一步掌握新知，利用超級幾何畫板軟件設計任一直角三角形，自動測量，讓學生去觀察、發(fā)現(xiàn)與猜想，讓計算機構(gòu)造數(shù)學對象，在觀察動態(tài)的圖形變化中，讓學生直觀體驗了任意性的含義，深入理解任意性在數(shù)學中所起的作用。同時計算機提供快速反饋測量結(jié)果，使學生有更多的時間從事于更高層次的數(shù)學思維活動。通過小組活動，介紹趙爽弦圖與分割圖形的方法驗證勾股定理，讓學生去品味數(shù)學美的韻味，使數(shù)學教學本身更具魅力。最后根據(jù)分層的問題設計，有效地實施分層教學，使每個學生都得到最好的發(fā)展。

（浙江師范大學；樂清市蒲岐中學）