高等代數教學中的啟發式教育研究

摘要： 在高等代數教學中，教師采用合理的啟發式教學方式，讓新知識與學生認識結構中的原有的有關知識建立聯系，原有知識能同化新知識，同時教師每一步新的教學目標都是建立在學生自覺需要的基礎上，充分地調動了學生的學習的自覺性和積極性。

關鍵詞：啟發式 線性方程組 推廣 矩陣

高等代數作為數學基礎課之一，其內容和方法在后續課程學習中所擔當的基礎地位是毋庸置疑的。例如，高等代數中介紹一些概念像矩陣，行列式，線性空間，線性變換，線性相關（無關），基，內積運算等，這些都是重要的概念，在空間解析幾何，計算方法，線性規劃，常微分方程，線性泛函等課程中繼續使用。課程教學所采取方式離不開課程本身特點和教學對象的特點，比如在實變函數的教學時，由于集合論部分的內容是按公理化組織的，為了在規定學時內給學生打下一些數學文化的底蘊，在這部分內容的教學中教師常采用注入式教育，盡管學生在學習過程中覺得枯燥，但由于到高年級才開設這門課程，所以學生在心理上和理解能力上還是可以接受的。高等代數是在大學一年級新生中開設的，也就是說教師面對的是一群剛踏入大學殿堂的高中生。如何調動起他們學習數學的興趣和主動性，讓他們能正確看待和理解把握在學習中遇到的一些新的概念，新的方法技能，這些都是高等代數教學中的任務。按現行的教學大綱，高等代數［１］的教學內容主要有這樣幾部分：多項式理論，線性方程組理論，矩陣理論，線性空間和線性變換，歐氏空間理論，其中我理出一條線就是圍繞解決方程（組）的解的問題。高等代數內容有自身的特點，也即所教學的內容和學生以前所學的知識有千絲萬縷的聯系，所以采用合理的啟發式的教學方式［２］，讓新知識與學生認識結構中的原有的有關知識建立聯系，原有知識能同化新知識，從而獲得明確而穩定的意義，而不只是靠簡單地死記硬背獲得知識，同時每一步新的教學目標都是建立在學生自覺需要的基礎上，充分地調動了學生學習的自覺性和積極性，這對教師的教與學生的學都有很大的促進作用。

如果在高等代數教學中抓住上面提到的一條線，那么高等代數教學的開頭和學期結束時收尾都變得很簡單但又都意味深長。宋代的朱熹認為：“讀書無疑，須教有疑，有疑者卻要無疑，到這里方是長進。”他強調教學要從“疑問”入手，教師的作用在于指導。下面我們從中學數學中的一個問題開始，讓學生解一元二次方程x -2x-3=0，這個問題很容易解決，學生在心理上覺得很輕松，他們對這太熟了。張載說過“于不疑處有疑，方是進矣?！毕旅嬉粋€問題提出，方程的系數都是整數（實數，復數），那么方程的根是否都是整數（實數，復數）？由一元二次方程根與系數的關系，學生可以用反例或證明的方式給出肯定或否定的回答。討論的結果是學生認識到方程的根所在范圍不是想象的那樣，這個問題算是解決了，反觀一下，實系數下方程ax +bx+c=0實根存在及個數的判定依賴于這樣一個式子ax +bx+c=a(x- )(x- )，也就是說，在中學我們解決這個問題時需要引入和首先掌握的是根號符號及其運算。如果學生對根號符號及其運算這個工具不熟悉或掌握，那么他就不能很好地回答這個問題?；仡櫫诉@個簡單問題及解決過程后，學生可以得出一元二次方程根情況與所討論數域是有關聯的這樣一個結論。自然地教師會提出下一個問題：一元n（n>2）次整（實，復）系數方程有沒有整（實，復）根，個數為多少？學生有前面的鋪墊后會在思考這些問題，或許他們會給出各種回答，例如，一元三次方程的根能否象上例一樣由根與方程系數關系來判定，一元n次多項式是否可以寫成若干個次數較低多項式的乘積等。在學生主動思考和求知欲下，教師給出第一部分多項式理論的教學計劃，讓學生了解為解決這些問題需要引入一些新的概念和方法，像帶余除法，公因子，不可約多項式，重因式等，以及因式分解理論，并了解解決問題的步驟。這樣處理的好處使得學生能正確對待學習過程中碰到的概念，方法和技能的掌握，每一次課都有自己學習目標。對于基礎課高等代數的教學，它和后繼課程有著千絲萬縷的聯系，我個人覺得教師就應該像一個引路人，通過講解和練習來指導學生掌握好大綱要求的內容和方法，同時也要點一下所學內容和后繼課程的聯系，激發學生端正學習態度，正確對待學習中碰到的問題。例如，在運用代數學基本定理時可以提到復變函數中的儒歇定理；在回答一般情形下一元五次方程的根能否像上例一樣由根與方程系數關系來判定問題時，可以提一下伽羅瓦理論和近世代數課程；學習多元多項式部分時，可以提一下Grobner基和多元多項式方程組解的問題；就具體求解一元n次方程根，可以提一下后續課程計算方法，這些點到為止，不鋪開，主要讓學生了解為了解決一些數學問題往往需要準備一些新的數學工具和思路，正確對待。

矩陣是高等代數中引入和研究的一個重要對象，在教學中可以直接給出矩陣的定義，讓學生認識它。但如果教師在給出矩陣的定義前，介紹一些引入矩陣的一些背景知識，可以消除矩陣引入的神秘感，讓學生感覺到一些數學概念或工具的引入，有時是很自然的，他們自己根據解決問題的需要也可以定義或引入一些概念。看下面的三個具體例子。

例1.在年終時要統計，將每月報表各行各列對應元素相加；

例2.各車間各月使用材料的費用統計。

例1.

上述兩個例子分別可以抽象為矩陣的加法和乘法。

例3如下二元一次方程組是解決雞兔同籠問題的，x+y=102x+4y=32，其中x表示雞的數量，y表示兔的數量。記得一次聽吳文俊院士數學做機械化報告時，吳院士曾幽默地提到他小學時未學代數方程組前，做這道題花了不少時間，但現在我們在引入兩個變量x，y建立線性方程組模型后，問題就變得非常簡單了。具體解上述方程組，學生可以利用中學學過的行列式或高斯（Guass）消元法，這兩種方法都是程序式，機械化的操作。計算機的出現很大程度地幫助人們的從腦力勞動解放了出來，解n元一次方程組問題也是計算機的一個應用?；仡櫼幌赂咚?Guass)消元法，上述方程求解整個過程可以通過對下列矩陣的行操作來完成（把變量x，y不寫出來）。

換言之，上述的二元一次方程組解所含的信息全部在上述的增廣矩陣中，而計算機僅對上述增廣矩陣處理也節省了不少存儲空間。其實，上述方程寫成矩陣形式為AX=B，其中X=xy，A=1124，B=1032。這個問題解決了，一個一般的問題自然提出，對于歸結為n元一次方程組模型的問題，如何來求解方程的解？學生自然地會考慮能否把中學時學到的方法推廣到解決上述問題，這樣教師就順理成章地將解n元一次方程組問題先分兩塊進行：一、引入n階行列式，講解克蘭姆（Gramer）法則；二、對一般的n元一次方程組，運用矩陣觀點和方法來處理。

我國古代的孔子是教育史上首創啟發式教學思想的教育家，“舉一反三”、“予一以貫之”、“聞一而知十”等強調學習即要從多聞、多見中體識到“一以貫之”的一，又要由“一以貫之”的一推見到多知，說明學習過程中遷移思想。從上例中的矩陣方程的AX=B形式聯想到ax=b，a，b∈R，若a≠0，則由a a=1，得x=a b。教師將學生引導到這里，許多工作要做了，A是個矩陣，盡管矩陣有加、減、乘和數乘，但A 應該是什么運算？此處“1”又是什么？在什么條件下，A 存在？應該說這些問題考慮起來都比較難，需要在認識有所突破。反觀一下，矩陣形式的高斯消元法第一步，把第一行乘-2加到第二行，11102432→11100212可以看作 1 0-2111102432=11100212。指導學生認識到這點很重要，高斯消元法過程完成可以用一系列矩陣左乘來完成，即若存在矩陣P ，P ，…，P 使得P …PPA=1001，則A =P …PP ，X=A B。到這里，除了了解解n元一次方程組過程外，學生已經接觸到了除整數，實數，復數，向量外的一個新的數學對象：矩陣，在矩陣組成的集合里，考慮和研究其中的元素的加、減、乘、數乘及取逆運算，還有特殊的矩陣包括單位矩陣，對角矩陣，若當形矩陣，對稱矩陣，正定矩陣，正交矩陣，以及矩陣運算的結合律，分配律，交換律，消去律等。

上面考慮的n元一次方程組AX=B，情形都是A為n×n矩陣且非退化，即A是可逆矩陣。下面考慮如下齊次線性方程組情形，AX=0即A為n×m矩陣。易見方程組有解X=0，其中0為m維向量，若方程組解不唯一，此時考慮的是方程組解的結構問題，這部分理論性較強，但結構的概念仍可通過學生容易理解的簡單線性空間的例子來說明的。例如，平面在建立直角坐標系后，每一點都可用向量(x ，x )來表示，在定義了通常意義下向量的加法和數乘以后，平面上所有的點構成了一個線性空間V，這個空間的元素雖然很多，但結構卻很簡單，因為任一點(x ，x )都可表為(x ，x )=c (1，0)+c (0，1)且表法唯一，其中c ，c ∈R，向量(1，0)，(0，1)是獨立的，不能互相線性表出，兩者構成平面V的極大線性無關組，或稱為一組基。為了給出齊次線性方程組的解的結構，需要引入線性空間一些概念，象向量的線性無關性，線性相關，極大線性無關組，線性表出等，再由此給出向量組的秩，矩陣的秩等概念。有了上述準備后，可以驗證齊次線性方程組所有的解構成了一個線性空間，通過高斯消元法給出了齊次線性方程組的基礎解系和系數矩陣A的秩與基礎解系個數的關系，進而給出了解的結構。對于非齊次線性方程組，在通過高斯消元法判定是否有解后，先求出一個特解，將問題轉化為求出與之相應齊次線性方程組（或稱導出組）的基礎解系，這樣就可得到原方程組的所有解的表達式，需要指出的是非齊次線性方程組的解集合不構成一個線性空間。線性方程組解理論的一個重要應用就是求解矩陣的特征值和特征向量，以及在其化可對角化矩陣為對角形而尋找過渡矩陣和正交矩陣中的應用。

“學而不思則罔，思而不學則怠”。如果給出這樣一個問題讓學生考慮：方程ABX=CX=0（1）與BX=0（2）是否等價，其中A，B，C為矩陣，X為一向量？方程組（2）的解是方程組（1）的解，這一點學生能回答；但方程組（1）的解卻不一定是方程組（2）的解，換言之，方程組（1）與（2）不一定等價。再回顧一下高斯（Guass）消元法，實際上每一步初等變換都可看成是初等矩陣左乘增廣矩陣，為什么經初等變換后所得方程組與原方程組等價呢？這個問題的思考可以從簡單A，B，C為1×1向量開始，進而幫助學生抽象到運算的消去律。高等代數最后部分內容在教學處理上通過和學過的平面幾何知識類比基礎上，在線性空間中定義內積給出了歐氏空間的概念，并脫離具體的空間進行討論，但所得的許多結果在學生所熟悉的平面幾何中能找到原型，這里教學仍從特殊推廣到一般，訓練抽象能力，為了幫助理解所得結論可以再回到特殊情形。

對我國航天事業作出卓越貢獻的錢學森先生，大學時的數學非常好，后來，他就母校作為工科大學的數學教學改革曾給出過自己的看法，談到數學教育要讓學生學會數學的思考方法，為鞏固一些概念和方法需要做適量的練習，但不要迷于題海中，可以利用現有的數學軟件（Mathematics，Maple），從作題中解脫出來，有更多時間和精力來思考一些問題。

參考文獻：

［1］高等代數.北京大學數學力學系，人民教育出版社.

［2］熊梅.啟發式教學原理研究.北京：高等教育出版社，1998.

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