如何做好數學分析習題課的設計

摘要： 本文就數學分析習題課的設計從三個側面進行了分析和設計。

關鍵詞： 數學分析習題課 主題習題課 探究性習題課 討論式習題課

數學教育本質上是一種素質教育。學習數學的目的，不僅僅在于學到一些數學的概念、公式和結論，更重要的是要了解數學的思想方法和精神實質，真正掌握數學這門學科的精髓。只有這樣，所學的數學知識才不至淪為一堆僵死的教條，變得似乎毫無作用，才能做到觸類旁通，在現實世界中提出的種種問題面前顯示出無窮無盡的威力，終身受用不盡。

要做到這一點單靠教師把課講好是遠遠不夠的，只有調動學生學習的積極性和主動性，促使他們自覺地接受頻繁、充分而又嚴格的數學訓練，才能使他們真正走進數學，獲得切身的體會，從而加深對數學的理解。這些數學訓練的內容，在大學學習階段，包括復習、做習題、閱讀參考書，相互切磋、參加學術報告及與數學有關的的實驗活動等等。其中，在認真復習的基礎上做好習題，是和課堂教學聯系最直接和緊密的，同時也最利于經常實施和長期堅持的一項重要數學訓練。多講不如多練，對于數學這樣一門注重思考的學科，情況更是如此。教師講課再好，也代替不了學生自己的思考和領悟，只有通過嚴格的訓練，使學生手腦并用，才能啟迪心智，推動思維，使認識不斷深入。

由于解題在訓練數學思維方面極具重要性，開設必要課時的習題課，這對保證和提高教學質量是一個頗有成效的培養方式。關于習題課，許多教師理解為講解課后練習題。事實上這是一種片面的理解，這種將課后習題由教師包攬的方式，會嚴重阻礙學生養成積極動腦思考的良好習慣，因為學生在學習了基本概念和理論之后，有部分學生總會惰于思考課后習題或是隨便一看不會做就丟到一邊，他們總認為教師會給他們講這些習題，這樣就阻礙了學生對知識理解的深入。但是，我們知道如果不通過動手做大量練習題，那么就不能獲得解決問題的思想和方法，這樣所學知識就變成概念和定理的堆砌而見不到數學分析之靈魂。那么怎樣才能提高學生解決問題的能力呢？除了學生自己積極動手動腦做大量習題外，教師對解題思想和方法的引導也是很關鍵的。這也是學生迫切要求的。因為很多學生尤其是該門課程的初學者都很有體會，讀書能讀懂、做題不會做，或者知道題目意思卻寫不出嚴格的解答與證明。正因如此，上好數學分析課，做好數學習題的分析，努力提高數學分析的質量，具有特別重要的意義。有關設計筆者以為可以考慮以下幾個方面：

一、主題習題課

主題習題課可以參考教科書的課后練習題及教材中的例題，對一些方法、技巧比較強的題目加以整理或歸納。作為習題課的選材，課本習題都是經過專家們多次篩選后的精品，我們在習題課的題目選編中，應優先考慮課本中的例題與習題，并且對其進行適當的拓深、演變，編制一題多解、一題多變、一題多用、多題一法的習題，提高學生靈活運用知識的能力，使其源于教材，又不拘泥于教材。另一方面，不能完全變成例題的堆砌，例子要典型，使學生觸類旁通。這一類型習題課充分展現了教師提出問題、分析問題和解決問題的全過程。尤其是拿到一道題應該如何下手分析、所使用的方法、技巧是如何想到的、是由哪些理論支持的，等等，這些問題情景的創設與作業難度是分不開的，由于習題課所選例題有作業題的考慮因素，所以要難易適度。

主題習題課要注意問題的層次性。學生首先都是作為具體的、活生生的個體而存在的，我們設計問題時必須明確肯定學生認識活動的個體特殊性，這種特殊性不僅表現在已有知識的差別，也表現在學習的動機等方面，所以設計問題必須有層次性。所謂層次性，指的是問題里面含有各種各樣的小問題，有淺、中、難適合各層次學生的需要，從而形成一連串的問題鏈，淺層次的記憶性問題可供單純的機械模仿，較深層次的問題可用來掌握和鞏固新知識，高層次的問題可供用來引導學生知識的遷移和應用。既要創設舞臺讓優特生表演，發展其個性，又要重視給后進生提供參與的機會，使其獲得成功的喜悅。否則，將會使一大批學生受到“冷落”，喪失學好數學的信心。題目安排可從易到難，形成梯度，雖然起點低，但最后要求較高，符合學生的認知規律，使得后進生不至于“陪坐”，優生也能“吃得飽”，使全體同學都能得到不同程度的提高。

教師一定要注重對學習方法的指導，并且在教學中要恰當控制學生動機激起程度，在講較簡單例題時要盡量使學生集中注意力，使學生盡量緊張一點；而在學習較復雜較困難的課程時，盡量創造輕松自由的課堂氣氛，在學生遇到困難或出現問題時要盡量心平氣和地慢慢引導，以防學生過度緊張和焦慮。所選例題在分析、講解思路方法后，教師要誘導和啟發學生共同寫出嚴格而完整的解答和證明過程，為后來學生練習和做題的書寫作出榜樣。這樣通過反復多次的嚴格訓練，使學生在做題和書寫上規范化，不僅能促進學生的知識、技能的獲得，還能端正學生的學習態度和養成良好的習慣。

通過主題習題課的學習，要求學生掌握的理論知識的具體運用和思想方法以及解題技能往往是明確的，要讓這些知識和方法技能能夠變成學生自己的東西并且運用自如，關鍵還要靠學生課后多做練習題。只靠課本上的練習題是不夠的，教師還要借助參考書籍補充一些練習題，最好能給學生配備一些優秀的書籍，使學生在做題訓練中多思考，從而促進學生的學習遷移。

二、探究性習題課

探究性習題課是在一定的知識背景范圍內提出問題然后研究性地解決。這類習題課與主題習題課區別不大，但重視學習的過程，啟發學生進行自覺的概括；能夠發展學生的探究精神，強調引導學生通過自己的積極探索，自行總結解決問題的方法和策略，使學生學會如何學習。一個問題的好壞，不在于它產生的效果一定有多大的實用價值，而在于在該問題實施的過程中是否具有探索性，能否讓學生更深入地挖掘問題深處的內涵，能否對問題進行重新思考，從而能夠提出新的問題。

數學分析微分中值定理這部分內容的理論知識很有連貫性，四個中值定理可以一氣呵成地教給學生，而之后就一定要配套一定課時量的習題課。因為這部分內容的一個教學難點就是用輔助函數解決問題的方法，那么習題課的設計就要以突破這一難點為目的，可以以回顧復習lagrange中值定理的證明（幾何方法）為引子，設計幾個難度適宜但又有梯度的相關例子，通過對例子的分析探究以及已有lagrange中值定理的證明，最終提升為解決這一類問題的統一方法，即操作性很強的一種方法，這樣做既突破了教學中的難點，又教給學生一種可操作的解決一類問題的方法，這樣的習題課是很受學生歡迎的。

在探究性習題課過程中，教師要注重通過創設問題情景對學生一步一步地啟發、開導，最好讓學生自己得出結論，并且要及時檢查學生的掌握情況，教師要充分發揮主導作用。

三、討論式習題課

討論式習題課是教師或學生在某一方面提出問題，然后討論這個問題，通過對這個問題的討論把出現的問題歸納總結再解決，這個過程要充分體現教師的主導作用和學生的主體位置。

教師啟發學生進行自覺概括和歸納的最常用方法是鼓勵學生主動參與問題的討論。在討論時，不僅要鼓勵學生主動提出問題，而且要鼓勵他們主動解答問題。在討論初期，學生提出的問題可能不著邊際，回答方式也未必完美，那就說明學生對所討論的原理中包含的概念尚缺乏了解，對所學原理尚缺少一部分起點行為，教師必須在設法補充后，繼續討論。在討論的過程中，教師應從旁輔導，但不宜代替學生匆匆做出結論。簡言之，在概括過程中，教師應充分調動學生的思維，讓他們自己去歸納和總結。

比如在關于數列發散問題的證明問題，本來數列收斂“e-d”的定義就不易理解，那么該命題的否定發散就更難理解了。那么這個難點如何突破？關于數列發散的證明，教科書上的例題采用了從數列收斂的定義出發，用對偶法則給出數列{a_n}發散的定義來證明。這種方法講解之后，學生可能理解不深刻。之后還學習了判定數列發散的一些方法，這些內容學完之后就可以安排一小節討論式習題課，針對判定數列發散的方法做一個小結，將以前用發散的定義做的難解題目再次拿出來進行討論，采用參與式教學。這個過程要注重由教師控制全局，使得結果盡可能全面。通過學生的討論和整理可以得到五種基本方法，這些方法哪些可以用證明這道題目，證明的嚴格過程怎樣？是否還有其它方法？這些都是討論的內容。在這個過程中通過討論和學生的回答問題，既可以達到討論的目的，又是對學生已有知識掌握情況的一次檢驗。討論過程中有些學生可能還會提出用反證法來做，那么順其自然就讓學生自己動手做，這樣結果就會更全面。假如學生沒有提出該種方法，教師也要啟發學生用反證法，因為這種方法很常用，是一些命題在沒辦法正面解決時的一種好辦法。

通過一節討論式習題課，學生所學的概念更清晰，知識結構也更加完整，更重要的是通過一題多解的訓練和學生討論式的參與使學生分析問題，解決問題的能力提高了，那么難點也就不難了。

四、結語

關于數學分析習題課的設計，以上三種類型在某種意義上沒有嚴格的界限，一次習題課可以多種類型并存。對習題課要引起充分的重視，衡量一堂習題課的教學效率如何，主要看學生學習知識、掌握技能、形成能力和提高認識效果。數學只有契合學生的經驗系統才能真正走進學生的心里，數學習題課的實質與精髓就是教師對習題材料的處理上能發揮習題的正常功能，能充分調動學生主體的積極參與，將學生所學的知識“外化”，并通過“外化”這一形式將知識“內化”，也就是建構在原有的知識基礎之上。這是一堂習題課成功與否的關鍵。而學生思維能力和積極動手動腦的習慣的養成也離不開高質量的習題課。教師要不斷充電學習，習題課是充分展示教師能力的課，只有多鉆研專業知識，多思考、多動手，才能拿出高質量的習題課。廣大數學教師應重視習題課的設計，提高習題課的教學質量。