初中數學競賽中的數字特點問題

初中數學競賽中的許多試題都與數字特點有關，常見的有以下幾種：

一、末位數字

根據整數的末位數字可以判斷整數的整除性以及是否為完全平方數或連續自然數的乘積。

例1已知（a-2111） +（2112-a） =2113，求（a-2111）（a-2112）的值。

解：∵（a-2111） +（2112-a）

=［（a-2111）+（2112-a）］ -2（a-2111）（2112-a）

=1 +2（a-2111）（a-2112）

=2113

∴（a-2111）（a-2112）

= （2113-1）

=1056

=33×32

接著可以求出a=2144。

例2方程1+1×2+1×2×3+…+1×2×3×…×x=y +5的正整數解x=?搖?搖?搖?搖，y=?搖?搖?搖?搖。

解：x=1時，1=y +5，無實數解。

x=2時，3=y +5，無實數解。

x=3時，9=y +5，y=2。

當x≥4時，前4項的和為33，后面的項均為10的倍數，故個位數一定為3，所以y +5是奇數，y 是偶數。偶數的平方的個位只能是0、4或6，所以y +5的個位數只能是5、9或1，因此，y無解，故只能是x=3，y=2。

二、各位數字和

根據整數的各位數字和可以判定數的整除性以及是否有可能為完全平方數。

例3有一個60位整數，其中有30位是1，另外30位是0。求證：這一個數不是完全平方數。

證明：因為這個數的各位數字之和為30，而30是3的倍數但不是9的倍數，根據數的整除性判斷法則，這個數本身是3的倍數但不是9的倍數。

不妨設此數為3N，其中N是不含因數3的正整數，那么它的算術平方根為，不論N是否為完全平方數，均不可能為整數，所以這個數一定不是完全平方數。

三、循環節

根據循環小數的循環節，可以確定某些相關數值。

例4已知a為整數，且滿足0

解：因為 =0. 4285

=0. 8571

=0. 2857

=0. 7142

=0. 1428

=0. 5714

由上可知，這7個真分數化為循環小數后，它們的循環節的數字完全相同，只是排列位置不同，每個循環節的各位數之和為1+4+2+8+5+7+1=28。

設前若干位的位數為6N+r，其中N，r都是整數，r滿足0≤r＜6，那么這7個循環小數的前6N位數字之和當N取任意正整數是都相同，而且是28的倍數，所以后r位數字之和為20，這樣，就要求 的循環節的前r位數字之和為20，經過計算，只有 的循環節的前5從位數字之為20，所以a=1。

如果把2008變為2016，則a的值不能確定，還有多種情況下，若干位數字之和變為其它數字時，a的值不能確定，有興趣的讀者可以自行研究。

此外，數字的特殊結構也是解決某些競賽題的突破點，限于篇幅，本文未予專題研究。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”