介紹勻速圓周運動向心加速度的五種推導方法

摘要： 圓周運動向心加速度是新課標高中物理必修課教學的一個重點和難點，而向心加速度公式的推導則可以更好地幫助學生理解和記憶向心加速度的公式。本文主要介紹了向心加速度公式的幾種推導方法，供教學參考。

關(guān)鍵詞： 勻速圓周運動 向心加速度 推導

引言

勻速圓周運動，由于運動方向在不斷改變，所以是變速運動。學生由于長期接受標量運算而產(chǎn)生的思維定勢，會認為勻速圓周運動中物體運動速率不變，從而得出△v=0，于是有a= =0的錯誤結(jié)果。因此教師在教學中必須強調(diào)兩點，一是矢量性，速度的方向變化也表示速度有變化，故△v≠0；另一是速度變化的方向就是加速度的方向，因此在教學中必須說清楚△v的方向。教材中引進了速度三角形的方法，實際上已經(jīng)考慮到了上述兩點。向心加速度公式的推導方法很多，下面提供幾種有別于課本的推導方法，供大家參考。

一、利用極限法推導

如圖一所示，質(zhì)點做以O(shè)為圓心半徑為R的勻速圓周運動，線速度大小為v，設(shè)經(jīng)時間△t后質(zhì)點由A點沿圓周運動到B點，線速度改變量大小為△v，由速度矢量三角形與三角形AOB相似，對應(yīng)邊成比例可求得△v= v。

根據(jù)加速度和線速度的定義，質(zhì)點加速度的大小為：

在時間為△t內(nèi)，設(shè)質(zhì)點從A點運動到B點轉(zhuǎn)過的圓心角為，則線速度v的方向改變的角速度為△，由速度矢量三角形可知，當△t→0時，△→0，速度改變量△v的方向與線速度v的方向間的夾角α= ，即角速度a的方向與線速度v的方向垂直指向圓心。

二、利用三角函數(shù)法推導

如圖二所示，物體自半徑為R的圓周上的A點勻速圓周運動至點B，所經(jīng)時間為△t，若物體在A、B點的速率為V =V =v，則其速度的增量△v=V -V =V +（-V ），由平行四邊形法則作出其矢量圖如下圖二所示。由余弦定理可得：

△v= = #8226;

由三角形的公式可知：sin = ，

所以△v=2vsin 。

當θ→0時，sin = ，故△v=vθ，

所以有：α= =v =vω= 。

當θ→0時，α=90°，即△v的方向和V 垂直，由于V 方向為圓周切線方向，故△v的方向指向圓心，又因為△v的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運動中加速度的方向指向圓心，其大小為α= ，或α＝Rω 。

三、利用運動的合成法推導

如圖三所示，質(zhì)點沿半徑為R的圓周做勻速圓周運動，線速度大小為v。設(shè)質(zhì)點在時間t內(nèi)由A沿圓周運動到B點的位移AB，可視為沿A點切線方向做勻速直線運動的位移AC與沿半徑OB方向做勻加速直線運動的位移CB的矢量和。由位移矢量三角形ABC與△ACD相似，可知對應(yīng)邊的比例關(guān)系：

AC =CB#8226;CD=CB(CB+2R)。

當△t→0時，CB<<2R，CB+2R≈2R，則有AC =CB#8226;2R。

又由運動學公式可得：AC=v#8226;△t，CB= α△t ，

則：(v△t) = α△t #8226;2R，由此推出質(zhì)點加速度的大小為：a= 。

四、利用位移合成法推導

如圖四所示，設(shè)物體自A點經(jīng)△t沿圓周運動至B，其位移AB可看成是切向位移s 和法向位移s 的矢量和。

由以上分析可知，其法向運動為勻加速直線運動。設(shè)其加速度為α，則有s = α△t 。

由圖知：△ACB∽△ADB，故有AC∶AB=AB∶AD，即AC= 。

則可求得α= 。

五、利用類比法推導

如圖五所示，設(shè)有一位置矢量R繞O點旋轉(zhuǎn)，矢端由點A至點B時發(fā)生的位移為△s，若所經(jīng)時間為△t，則在此段時間內(nèi)的平均速率 = 所描述的是位置矢量矢端的運動速率，當△t趨近于零時，這個平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時刻的即時速率，假如旋轉(zhuǎn)為勻速率，則其矢端的運動也是勻速率的，易知其速率為：v=（1）。（式中的T為位置矢量矢端的旋轉(zhuǎn)周期）

如圖六所示，是一物體由A至B過程中，每轉(zhuǎn)過1/8圓周速度變化的情況。現(xiàn)將其速度平移至圖七中，容易看出圖七和圖六相類似，所不同的是圖六表示的是位置矢量的旋轉(zhuǎn)，而圖七則是速度矢量的旋轉(zhuǎn)，顯然加速度是速度的變化率，即α= 。

由圖七可知，這個速度變化率其實就是速度矢量失端的旋轉(zhuǎn)速率，其旋轉(zhuǎn)半徑就是速率v的大小，故有：α=（2）。

將上式（1）中的 值求出為 代入（2）式，即可得出α= 。

對照圖六圖七可以看出當△t→0時△v的方向和△s的方向相垂直，故加速度的方向和速度方向相垂直。

本文介紹了上述五種勻速圓周運動向心加速度的推導方法，希望能夠使廣大學生從中得到啟迪，對向心加速度這個知識點有更深刻的理解，并對其以后學習思路的拓寬有所幫助。

參考文獻：

［1］楊以綱.關(guān)于圓周運動加速度的推導［J］.長春師范學院學報（自然科學版）.

［2］王立新.對質(zhì)點圓周運動加速度的多種求證［J］.泰山學院學報.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”