研究性問題解法初探

回顧近幾年高考教學中的研究性問題，題目本身沒有給出明確的結論，只是提出幾種可能，需經過觀察、分析才能得出解題方法。但并沒有像應用題一樣，穩中有創新。每年都不外乎歸納型和存在型兩類，或者分為條件追溯型、結論探究型、方法探究型。因此，筆者在高三帶領學生復習時，針對這些題型進行訓練。本文為筆者對這類題型的復習心得，以求同行指教。

一、條件追溯型

這類問題的基本特征是：針對一個結論，條件未知需探究，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗找到結論成立的充分條件。在“執果索因”的過程中，值得注意的是：學生常常會不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充分條件。

例1、（2002年全國文）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：

（1）焦點在Y軸上；（2）焦點在X軸上；（3）拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離為6；（4）拋物線的通徑長為5；（5）由原點向拋物線的過焦點某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1），能使這拋物線為y =10x的條件是?搖?搖?搖?搖。（要求填寫合適條件的序號）

分析：本題要求學生能從結論出發探求結論成立的必要條件，而后加以對照，可知應填（2）、（5）。

注：對條件或結論不明確的探究性問題，對培養學生的潛能和創新意識，特別是培養學生的探究能力是十分重要的。

二、結論探究型

這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值、圖形、函數等)是否存在或某一結論是否成立。解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數學對象存在(或結論成立)或暫且認可其中的一部分的結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論。其中反證法在解題中起著重要的作用。

例2、已知函數y＝f（x）＝ax ＋bx＋c的圖像過點（－1，0），是否存在常數a、b、c，使得不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）對一切實數x都成立。

分析：假設存在符合條件的a、b、c，函數y＝f（x）的圖像過點（－1，0），所以

a－b＋c＝0①

又因為不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）對一切實數x都成立，取x＝1，得

a＋b＋c＝1②

由①、②得：b＝ ，a＋c＝ ，

∴f（x）＝ax ＋ x＋（ －a）。

因為不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）

即ax + x+( -a)≥xax + x+( -a)≤ （1+x ）對一切實數x都成立，

根據判別式求得a＝ ，從而c＝ 。

故存在常數a＝c＝ ，b＝ 使得不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）對一切實數x都成立。

例3、已知雙曲線C： - =1的左、右焦點分別為F 、F ，左準線為l，問能否在雙曲線的左半支上求得一點P，使|PF |是P到l的距離d與|PF |的比例中項。

分析：在已知雙曲線中，a＝5，b＝13，求得c＝13，e＝ 。

假設在左半支上存在P點符合題意，則|PF | =d|PF |，即 = = = ，

所以，|PF |= |PF |。

又由雙曲線定義知|PF |－|PF |＝10，

所以，|PF |= ，|PF |= 。

但在△PF F 中，|PF |＋|PF |＞2c①

當P在線段F F 上時，

|PF |＋|PF |=2c②

綜合①、②得 + ≥26，即 ≥26，此式錯誤，

所以假設不成立，故符合題中條件的點P不存在。

例4、在直角坐標系xOy中，給定拋物線C：y＝ax ，問是否存在定點M且不垂直于x軸的任意直線與曲線C恒有兩個交點A、B，且OA⊥OB？若存在，求出定點M的坐標，若不存在，說明理由。

分析：設存在滿足題意的點M，其坐標為（p，q），過點M與x軸不垂直的直線方程為：y＝kx－kp＋q，將其代入C的方程，得：ax －kx＋kp－q＝0，

設其兩根為x 和x ，則點M符合題意的充要條件是：對任意實數k恒有

x x +(kx -kp+q)(kx -kp+q)=0?搖?搖?搖（1）△=k -4a(kp-q)＞0（x x ≠0）?搖?搖?搖?搖?搖（2）

由（1）?圳pak＋1－qa＝0，要使它對所有k恒成立，必須p＝0，q＝ 。

經驗證，此時（2）也成立，故存在符合題意的點M（0， ）。

三、方法探究型

這類問題的基本特征是：給出一定的條件，要求設計一種方案。解決這類問題的基本策略是：運用觀察、類比、猜想、模擬等方法探求解題思路，探索成功后再給出證明。

例5、用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2m 的正四棱錐形有蓋容器，設容器的高為h，蓋子邊長為a，容器容積為Vm ，問如何設計容器，使得容器的容積最大？

分析：設h′為正四棱錐的斜高，

由已知得a +4#8226; h′a=2h + a =h′ ，

由此解得 a＝ （h＞0），

∴V= ha = (h＞0)

得V＝ ，

∵h+ ≥2 =2

∴V≤ ，當且僅當h= ，即h＝1時等式成立，

故當h＝1m時，V有最大值，V的最大值為 m 。

注：求某些幾何體的體積或某物體的容積的極值，往往用基本的不等式求解。求解的關鍵是創造幾個正數的“和”或“積”是定值這個重要條件，去求出“積”的最大值或“和”的最小值。

解決研究性問題，除采用以上幾種常見探究方法外，還可以借助其它一些手段，如利用圖形特征，構造模型，利用命題的等價變換等。總之，解決研究性問題，沒有現成的套路和常規程序，需要較多數學思想方法的綜合應用，在復習時，應以課本為基礎，抓住課堂這一主陣地，逐步培養學生分析問題的能力，形成科學的探究問題的方法。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”