哥尼斯堡七橋問題在高考中應(yīng)用

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中把抽象、概括和具體化結(jié)合起來是非常重要的。哥尼斯堡七橋問題就是很好的一個例子。

關(guān)鍵詞：哥尼斯堡七橋 一筆畫 抽象

18世紀(jì)，東普魯士哥尼斯堡有條普萊格爾河，這條河有兩個支流，在城中心匯成大河，市內(nèi)有七座各具特色的大橋，連接島區(qū)和兩岸。每到傍晚或節(jié)假日，許多居民來這里散步，觀賞美麗的風(fēng)光。年長日久，有人就提出這樣的問題：能否從某地出發(fā)，經(jīng)過每一座橋一次且僅一次，然后返回出發(fā)地？

思考方法：數(shù)學(xué)中的圖論，最早就開始于哥尼斯堡七橋總問題。這個問題很長一段時間沒有得到解決。1735年，有幾名大學(xué)生寫信給歐拉，請他幫助解決。歐拉經(jīng)過反復(fù)思索，敏銳地看到，整個問題與所走路程無關(guān)；而且，整個島區(qū)與河岸無非就是橋梁的連接地點(diǎn)。因此，歐拉把兩個島和河兩岸抽象為四個點(diǎn)，把七座橋抽象為七條線。這樣，七橋問題便抽象為能否一筆畫出圖的問題。

大數(shù)學(xué)家歐拉解決這一問題的思維程序是：

歐拉在此基礎(chǔ)上概括出一筆畫的理論問題，證明了一個網(wǎng)絡(luò)是一筆畫的充要條件為：它連通并且奇次點(diǎn)個數(shù)等于0或2（一個點(diǎn)是奇次的；如果與該點(diǎn)關(guān)連的邊是奇數(shù)條）。

數(shù)學(xué)家歐拉找到一筆畫的規(guī)律是：

1. 凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。

2. 凡是只有兩個奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個奇點(diǎn)終點(diǎn)。

3. 其他情況的圖都不能一筆畫出。(有偶數(shù)個奇點(diǎn)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

能否一筆畫是由圖的奇、偶點(diǎn)的數(shù)目來決定的。

比如附圖：（a）為（1）情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。

一筆畫問題是一個簡單的數(shù)學(xué)游戲，即平面上由曲線段構(gòu)成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上都不重復(fù)？例如漢字“日”和“中”字都可以一筆畫的，而“田”和“目”則不能。

歐拉的一筆畫理論在最近的高考中非常常見。有些問題用其它方法可能不是那么容易，但用了一筆畫理論就簡單得多。

下圖是2008年北京奧運(yùn)會的會徽，其中的“中國印”由四個色塊構(gòu)成，可以用線段在不穿越其他色塊的條件下將其中任意兩個色塊聯(lián)接起來（如同架橋），如果用三條線段將這四個色塊聯(lián)接起來，能有多少種不同的聯(lián)接方法？

實(shí)際上聯(lián)接方法的多少與色塊的度量關(guān)系及絕對位置無關(guān)，只與色塊的相對位置相關(guān)，我們可以將色塊聯(lián)想為平面內(nèi)的四個點(diǎn)，則問題化歸為“用三條線段將四個點(diǎn)聯(lián)接成一個整體，有多少種聯(lián)接方法？”見圖（二），結(jié)果為16種，這正是大數(shù)學(xué)家歐拉解決哥尼斯堡“七橋問題”的思想方法，體現(xiàn)著問題解決者的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；體現(xiàn)著問題解決者鮮明的時代特點(diǎn)。

2008年上海春季招生數(shù)學(xué)高考試卷第10題就是一道充分利用一筆畫理論去求解的考題。題目：古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。”將五種不同屬性的物質(zhì)排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A出現(xiàn)的概率是（結(jié)果用數(shù)值表示）_________：

仔細(xì)思考，要組成滿足條件的數(shù)，實(shí)際上只需從五個頂點(diǎn)中的任一個頂點(diǎn)的數(shù)字出發(fā)，按隔一位的路線走下去，最后回到原來出發(fā)點(diǎn)，這樣一條線路上的五個數(shù)字正好構(gòu)成滿足條件的一個五位數(shù)，也就是用一筆畫畫五角星的一條路徑所經(jīng)過的五個頂點(diǎn)上的數(shù)字構(gòu)成的五位數(shù)，如圖6從數(shù)字1出發(fā)，按路徑1→4→2→5→3→1及逆向路徑1→3→5→2→4→1所得到兩個滿足條件的五位數(shù)14253和13524，這樣可以從五個不同頂點(diǎn)出發(fā)，共可組成10個，所以事件A的概率為P(A)=■。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”