與橢圓直徑相關(guān)的一組優(yōu)美性質(zhì)

筆者在文［1］給出了與雙曲線直徑相關(guān)的一組優(yōu)美性質(zhì)，本文將其類比到橢圓之中.

性質(zhì)1 如圖1所示，AB為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任一直徑，l是橢圓在點(diǎn)A處的切線，若AB與l的斜率都存在，則AB所在直線斜率與l的斜率之積為-b2a2.證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，則直線AB的斜率kAB=btanθa，l的方程為xcosθa+ysinθb=1，從而可知l的斜率為kl=-bcotθa.故有klkAB=

-bcotθa#8226;btanθa=-b2a2.

性質(zhì)2 如圖2所示，AB為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任一直徑，點(diǎn)P是橢圓上異于A和B的任一點(diǎn)，若AP與BP斜率都存在，則AP與BP斜率之積為-b2a2.

證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(acosφ，bsinφ)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-acosθ，-bsinθ).從而可得AP與BP斜率之積為bsinφ-bsinθacosφ-acosθ×bsinφ+bsinθacosφ+acosθ=b2(sin2φ-sin2θ)a2(cos2φ-cos2θ)=-b2a2.

性質(zhì)3 如圖3所示，BC為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任意直徑，點(diǎn)A為橢圓上異于直徑BC兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和B分別作切線PA與PB交于點(diǎn)P，則有AC∥PO.

證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(acosφ，bsinφ)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-acosφ，-bsinφ).從而有切線PA的方程為xcosθa+ysinθb=1，切線PB的方程為xcosφa+ysinφb=1，聯(lián)立PA與PB的方程可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為a(sinφ-sinθ)sin(φ-θ)，b(cosφ-cosθ)sin(θ-φ).于是有OP=a(sinφ-sinθ)sin(φ-θ)，b(cosφ-cosθ)sin(θ-φ)，CA=(a(cosθ+cosφ)，b(sinθ+sinφ))，由于a(sinφ-sinθ)sin(φ-θ)×b(sinθ+sinφ)-a(cosθ+cosφ)×b(cosφ-cosθ)sin(θ-φ)=ab(sin2φ-sin2θ)sin(φ-θ)-ab(cos2φ-cos2θ)sin(θ-φ)=ab(sin2φ-sin2θ)sin(φ-θ)-ab(sin2φ-sin2θ)sin(φ-θ)=0，從而有AC∥PO.

性質(zhì)4 如圖4所示，AB和CD是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任意兩直徑，過(guò)點(diǎn)A作橢圓切線AF交CD所在直線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作橢圓切線CE交AB所在直線于點(diǎn)E，則有AC∥EF.

證明:設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(acosφ，bsinφ)，則AB所在直線方程為y=btanθax，直線CE的方程為xcosφa+ysinφb=1，聯(lián)立AB與CE的方程可求得E的坐標(biāo)為acosθcos(θ-φ)，bsinθcos(θ-φ).同理可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為acosθcos(θ-φ)，bsinθcos(θ-φ).所以EF=a(cosφ-cosθ)cos(θ-φ)，b(sinφ-sinθ)cos(θ-φ).又AC=(a(cosφ-cosθ)，b(sinφ-sinθ))，由于a(cosφ-cosθ)cos(φ-θ)×b(sinφ-sinθ)-a(cosφ-cosθ)×b(sinφ-sinθ)cos(φ-θ)=

ab(cosφ-cosθ)(sinφ-sinθ)cos(φ-θ)-ab(cosφ-cosθ)(sinφ-sinθ)cos(φ-θ)=0.因此有AC∥EF，從而性質(zhì)4得證.

性質(zhì)5 如圖5所示，AB是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)任意一直徑，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，l為焦點(diǎn)F相應(yīng)的右準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)A作橢圓切線AC交x軸于點(diǎn)C，直徑AB所在直線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)D，則有AF∥CD.

證明:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，c為橢圓半焦距，則F的坐標(biāo)為(c，0)，l的方程為x=a2c.易求得直徑AB所在直線方程為y=btanθax，切線AC的直線方程為xcosθa+ysinθb=1，令y=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為acosθ，0，聯(lián)立AB與l的方程可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為a2c，abtanθc.于是有FA=(acosθ-c，bsinθ)，CD=a2c-acosθ，abtanθc，由于(acosθ-c)×abtanθc-a2c-acosθ×bsinθ=absinθ(acosθ-c)ccosθ-acosθ-cccosθ×absinθ=0.從而有FA∥DC，即性質(zhì)5得證.

在性質(zhì)5中，將過(guò)A的切線換為過(guò)B點(diǎn)切線，且交x軸于C，將右焦點(diǎn)改為左焦點(diǎn)，則同樣有AF∥CD.

性質(zhì)6 如圖6所示，AB是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)任意一直徑，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，l為焦點(diǎn)F相應(yīng)的右準(zhǔn)線，直徑AB所在直線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作橢圓切線AC交FD于點(diǎn)M，則有OM=a.

證明:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，c為橢圓半焦距，則F的坐標(biāo)為(c，0)，l的方程為x=a2c.易求得直徑AB所在直線方程為y=btanθax，切線AC的直線方程為xcosθa+ysinθb=1，聯(lián)立AB與l的方程可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為a2c，abtanθc.直線FD的方程為y-0abtanθc-0=x-ca2c-c，即y=atanθb(x-c).聯(lián)立AC與FD的方程可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

b2acosθ+a2csin2θb2cos2θ+a2sin2θ，ab(a-ccosθ)sinθb2cos2θ+a2sin2θ，于是

OM=(b2acosθ+a2csin2θ)2+(ab(a-ccosθ)sinθ)2b2cos2θ+a2sin2θ

=ab2(b2cos2θ+a2sin2θ)+c2sin2θ(a2sin2θ+b2cos2θ)b2cos2θ+a2sin2θ

=a(b2+c2sin2θ)(a2sin2θ+b2cos2θ)b2cos2θ+a2sin2θ

=a(b2cos2θ+a2sin2θ)b2cos2θ+a2sin2θ=a.

保留性質(zhì)6中其余條件不變，僅將過(guò)A點(diǎn)切線改為過(guò)B點(diǎn)的切線BC與FD延長(zhǎng)線交于M，則同樣可得OM=a.

參考文獻(xiàn)

［1］吳賽瑛.與雙曲線直徑相關(guān)的一組優(yōu)美性質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西).2008.8