對于一個“推廣”的改正

在文［1］中有如下一個例題：

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，在橢圓上任取2n個不同點P1、P2、…、P2n，使∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠P2nFP1=πn(圖略)，求證：1|P1Pn+1|+1|P2Pn+2|+…+1|PnP2n|為定值，并求此定值，你能把它推廣到雙曲線和拋物線中嗎?

文［1］在上例的解答之后，指出“把橢圓推廣到雙曲線時，有1|P1Pn+1|+1|P2Pn+2|+…+1|PnP2n|=n(2-e2)4ep”.(此即為文［1］在例后的“說明”(1))

下面指出文［1］的上述推廣是錯誤的.

請看下面的反例：

設雙曲線方程為x29-y23=1，其以右焦點F為極點、Fx為極軸的極坐標系方程為ρ=11-ecosθ(e=233，ep=1)，設P1(ρ1，20°)、P2(ρ2，110°)、P3(ρ3，200°)、P4(ρ4，290°)，則∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=∠P4FP1=180°2=90°，滿足條件.∵cos20°>32，∴ρ1=11-ecos20°<0，∴|P1P3|=|ρ1+ρ3|=11-ecos20°+11-ecos200°=21-e2cos220°

=2e2cos220°-1，|P2P4|=ρ2+ρ4=11-ecos110°+11-ecos290°=21-e2cos270°，∴1|P1P3|+1|P2P4|=e2cos220°-12+1-e2cos270°2=e2cos40°2=2cos40°3.

但由文［1］推廣得1|P1P3|+1|P2P4|=n(2-e2)4ep=22-434×233×32=13(其中p=c-a2c=32).

不難看出上例產生錯誤的原因在于θ1=20°<arctan32=30°，而導致點P1在雙曲線的左支上.

根據上述反例我們可以推知，要使“推廣后的結論”成立，必須要把Pi(i=1，2，…，2n)都取在右支上，而要使Pi都在右支上，必須要有Pi>0(i=1，2，…，2n)，即arctanba<θi<2π-arctanba，且πn>2arctanba(i=1，2，…，2n).

又因為ba=e2-1，∴當e≥22時，ba≥1，由πn>2arctanba≥90°知n=1，這與題意不符.∴1

因此，由橢圓推廣到雙曲線時，其命題正確的敘述應該是：

已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a，b>0)，右焦點為F，離心率為e，且1

參考文獻

［1］曾憲安.一個三角恒等式的應用.數學通報.2008(9).