應注意“非坐標向量”在立體幾何中的作用

近幾年高考中有一種現象：高考立體幾何題的標準答案都是坐標向量法或傳統的綜合幾何法.非坐標向量不僅被邊緣化，而且有被遺棄的感覺.由于這個原因，中學教師對立體幾何的非坐標向量要么蜻蜓點水、一帶而過，要么視而不見、有意避開.其實這是一種誤解，因為數學課程標準中要求學生：掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；掌握空間向量的數量積及其坐標表示.這里的“線性運算”、“數量積”都是指“非坐標向量”的.數學課程標準不僅要求學生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，而且要求進一步發展學生的空間想像能力和幾何直觀能力.非坐標向量相對于坐標向量來說，更有利于發展學生的空間想像能力和幾何直觀能力.所以我們應注意非坐標向量的教學工作.

1、基本模型的教學

例1 (07年四川理)如圖1，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求二面角M-AC-B的大小；

(3)求三棱錐P-MAC的體積.

解：(1)容易，從略；

(2)設PC=a，把CA，CB，CP看成基底，依題意有CP#8226;CB=CP#8226;CA=0，CA#8226;CB=1×2×cos120°=-1，AM=AC+CM=-CA+CP+12CB，AM#8226;AM=a2+3，又直線AM與直線PC所成的角為60°，則AM#8226;CP=|AM|#8226;|CP|cos60°，可得PC=a=1;由(1)知，CP是平面ABC的法向量，設n=xCA+yCB+zCP是平面ACM的法向量，由n⊥CA得，n#8226;CA=0，由n⊥CM得，n#8226;CM=0，則可得x-y=0，2z-x+4y=0，取x=y=-1，z=32.則n=-CA-CB+32CP，設CP與n所成的角為α，則cosα=n#8226;CP|n|#8226;|CP|=217.結合圖形可知二面角M-AC-B的大小為arccos217.

(3)設m=rCA+sCB+tCP是平面PCM的法向量，由m⊥CB得，m#8226;CB=0，由m⊥CP得，m#8226;CP=0，可得r=4，s=1，t=0，則m=4CA+CB，則A到平面PCM的距離

d=|m#8226;CA||m|=32.∴VP-MAC=VA-PCM=13×12×|CP|#8226;|PM|#8226;d=312.

例1的方法模式有如下特點：(1)當從一點出發的三條不共面的線段長度已知，它們的夾角也已知時，可選擇這三條線段所代表的向量作為基向量，然后求解.(2)當從一點出發的三條不共面的線段長度可求出，它們的夾角也可求出時，可選擇這三條線段所代表的向量作為基向量，然后求解.

其實，例1的方法是通常坐標法的推廣，因為當CA，CB，CP任意兩個都互相垂直，且它們三個都是單位向量時，即轉入通常的空間直角坐標系的運算系統.當然如果CA，CB，CP的夾角中任意一個都不等于90°時，建立空間直角坐標系求解難度更大.而利用例1的方法沒有增加思維方法上的難度，只是計算量稍微多一點而已.所以，例1的這種方法是通性通法.

2、變式思維方法的教學

例1的方法基礎是：把從一點出發的不共面的三條線段所代表的向量作為基向量，然后求解.因為我們研究的向量是自由向量，基向量的選取不一定要求它們的線段共點，從理論上講只要三個向量不共面就可以了，這個本質的放寬，給我們帶來了無限的變式空間.

例2 (08全國卷Ⅰ)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于().

A.13 B.23 C.33 D.23

對于例2，文［2］、［3］、［4］都是用傳統的綜合幾何法求解，添加了許多輔助線，用了很多高難度的技巧，有的要求把“平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和”作為基本性質，有的甚至利用了三面角的性質，可謂絞盡腦汁才把此題解決.這些工作說明，例2用傳統的綜合幾何法和坐標向量法都不容易解決.下面用非坐標向量法求解，你會發現別有洞天.

略解：如圖2，設O是A1在底面ABC內的射影，選AO、OA1、AB作為基向量，AB1與底面ABC所成角的正弦值等于AB1與OA1所成角的余弦.AB1=AO+OA1+A1B1=AO+OA1+AB，令AB=1，可得AO=33，OA1=63，又AO#8226;OA1=0，OA1#8226;AB=0，AO#8226;AB=|AO|#8226;|AB|cos30°=12，易得AB1#8226;OA1=OA12=23，AB12=(AO+OA1+AB)#8226;(AO+OA1+AB)=3，cos<AB1，OA1>=AB1#8226;OA1|AB1|#8226;|OA1|=23，故選B.

注：1、例2用坐標向量法求解的難點在于建立空間直角坐標系及求出某些點坐標，用傳統綜合幾何方法求解的難點在于作出合適的輔助線，以及需要利用某些特殊性質作為基本性質.而利用非坐標向量方法求解，一方面不需要作輔助線，極大地降低了對空間想象能力的要求；另一方面由于基底可以自由選擇，降低了建立空間直角坐標系所需要的某些苛刻要求，從而使得求解過程簡潔明了.

2、例2中基底AO、OA1、AB之間的角是明確的，其實基底各向量之間的角還可以降低要求，使得基本模式更自由.

例3 (08全國卷Ⅰ)等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為33，M、N分別是AC、BC的中點，則EM、AN所成角的余弦值等于.

對于例3，文［2］、［3］、［4］都是用傳統的綜合幾何法求解，添加了許多輔助線，有的多達10條之多，要求學生有很好的空間想像能力和計算與證明的技巧，對一道填空題，可謂大動干戈.下面靈活選取基向量，利用非坐標向量法簡單求解.

略解：如圖3，設O是AB中點，OC⊥AO，依題意，AE⊥AO，cos<OC，AE>=33，選取EA、AO、OC作為基向量，令AB=1，則OC=32，又EM=EA+

12AO+12OC，AN=12AB+12AC=32AO+12OC，有EM2=34=AN2，EM#8226;AN=18，所以cos<EM，AN>=16.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部制定，普通高中數學課程標準(實驗)人民教育出版社，2003年第1版.

［2］薛金星.2008年全國及各省市高考試題全解(數學卷)，人民日報出版社，2008年6月.

［3］北京點知教育研究院，2008年全國各省市高考試卷總匯及詳解(數學)，光明日報出版社，2008年6月.

［4］武澤濤.2008年全國高考真題集錦(數學)，陜西科學技術出版社，2008年6月.