一道數學競賽題的簡證

題目 (2008年全國高中數學聯賽江西省預賽題)AD是直角三角形ABC斜邊BC上的高(AB

此題主要考查三角形五心中的內心和旁心之間的關系，標答提供的解答如下：

證明：如圖1，連DI1、DI2、BI1、AI2、I1F，由∠EAF=90°，則圓心O在EF上，設直徑EF交AD于O′，并簡記△ABC的三內角為A、B、C，由∠I1BD=B2=12∠DAC=∠I2AD，∠I1DB=45°=∠I2DA，知△DBI1∽△DAI2，得DI1DI2=DBDA，又∠I1DI2=90°=∠BDA，故△I1DI2∽△BDA，∴∠DI1I2=B.∠AI1D=90°+B2，注意到∠AI1D=∠AI1F+∠FI1I2+∠DI1I2，∠AI1F=∠AEF，∠FI1I2=∠FAI2=B2，所以∠AEF=90°-B=C=∠DAB，因此O′E=O′A，同理得O′F=O′A，故O′與O重合，即圓心O在AD上，而∠EOD=∠OEA+∠OAE=2∠OAE=2C，∠EOI1=2∠EAI1=∠BAD=C，所以OI1平分∠DOM；同時得OI2平分∠DOF，即I1是△ODM的內心，I2是△ODM的旁心.

標準答案主要是用同一法通過證明兩對三角形相似以及內外心的性質而得以證明，但考生對同一法不是很熟，學生往往難以想到，下面提供一種學生易于想到而又簡潔的證法.

證法二：如圖2，連DI1、DI2，∵∠EAF=90°，則圓心O在EF上，連OI1、OD、OI2，∵I1為△ABD的內心，I2為△ADC的內心，

∴∠I1AI2=45°，

∴∠I1OI2=90°.而∠I1DI2=90°，∴點O、I1、D、I2四點共圓.

∴∠OI1I2=∠ODI2.在△OI1I2中，OI1=OI2，∴∠OI1I2=∠OI2I1=45°，∴∠ODI2=45°.而∠ADI2=45°，∴OD、AD共線.∴圓心O為EF與AD的交點，設△AI1I2的外接圓交AD于G，∵I1為EG的中點，∴OI1平分∠MOD，∴I1是△ODM的內心.∵I2為FG的中點，∴OI2平分∠DOF，∴I2是△ODM的旁心.