一道全國高中數學聯賽初賽題的拓廣

題目 (2005年全國高中數學聯賽天津賽區初賽第14題)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其長軸為A1A，P是橢圓上不同于A1、A的一個動點，直線PA1、PA分別與同一條準線l交于M1、M兩點.試證明：以線段MM1為直徑的圓必經過橢圓外的一個定點.

本文對此作了探究，得到圓錐曲線一個有趣的統一性質及推論，茲介紹如下.

性質1 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)及定點N(n，0)(|n|

一直線交橢圓于A1、A2兩點，A3為橢圓上任一點.設直線A1A3、A2A3分別交直線l:x=a2n于P、Q，則以PQ為直徑的圓必經過橢圓內外的兩個定點.

證明：設橢圓的方程為x=a#8226;1-t21+t2

y=b#8226;2t1+t2(t為參數)，Ai(a#8226;1-t2i1+t2i，b#8226;2ti1+t2i)(i=1，2，3)，由兩點式求得直線A1A2的方程為(1-t1t2)#8226;xa+(t1+t2)#8226;yb=1+t1t2，由直線A1A2過點N(n，0)，得(1-t1t2)#8226;na=1+t1t2，解得t2=n-a(n+a)t1①，再由兩點式求得直線A1A3的方程為(1-t1t3)#8226;xa+(t1+t3)#8226;yb=1+t1t3，又直線l的方程為x=a2n，由兩式聯立，解得直線A1A3與l的交點P的坐標為(a2n，bn#8226;n-a+(n+a)t1t3t1+t3).

同理求得直線A2A3與l的交點Q的坐標為(a2n，bn#8226;n-a+(n+a)t2t3t2+t3).設M(x，y)是以線段PQ為直徑的圓上一點，則PM=(x-a2n，y-bn#8226;n-a+(n+a)t1t3t1+t3)，QM=(x-a2n，y-bn#8226;n-a+(n+a)t2t3t2+t3)，由PM⊥QM，PM#8226;QM=0得以線段PQ為直徑的圓的方程為(x-a2n)2+［y-bn#8226;n-a+(n+a)t1t3t1+t3］#8226;［y-bn#8226;n-a+(n+a)t2t3t2+t3］

=0.令y=0得

(x-a2n)2+b2n#8226;

［n-a+(n+a)t1t3］［n-a+(n_a)t2t3］(t1+t3)(t2+t3)=0②，由①式知n-a=(n+a)t1t2，代入②得(x-a2n)2+b2n2#8226;(n+a)2t1t2=0，(x-a2n)2+b2n2#8226;(n2-a2)=0，解得x=a2n+bna2-n2或x=a2n-bna2-n2，所以PQ為直徑的圓必經過定點(a2n-bna2-n2，0)，(a2n+bna2-n2，0).特別地，當點N(n，0)為焦點F(±c，0)(即n=±c)時，我們得到

推論1 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過其焦點F(c，0)(或F(-c，0))任作一直線交橢圓于A1、A2兩點，A3為橢圓上不同于A1、A2的任一點.設直線A1A3、A2A3分別交準線l:x=a2c(或l:x=-a2c)于P、Q，則以線段PQ為直徑的圓必經過橢圓的焦點F(c，0)(或F(-c，0))及橢圓外的一個定點(a2+b2c，0)(或(-a2+b2c，0)).

當動弦A1A2為橢圓的長軸時，即得本文開頭問題的結論.

類比到雙曲線與拋物線，可得

性質2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)及定點N(n，0)(|n|>a)，過點N任作一直線交雙曲線于A1、A2兩點，A3 為雙曲線上不同于A1、A2的任一點.設直線A1A3、A2A3分別交直線l:x=a2n于P、Q，則以線段PQ為直徑的圓必經過雙曲線內外的兩個定點.(證明與定理1的證明相同，這里從略).

推論2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，過焦點F(c，0)(或F(-c，0))任作一直線交雙曲線于A1、A2兩點，A3為雙曲線上不同于A1、A2的任一點.設直線A1A3、A2A3分別交準線l:x=a2c(或l:x=-a2c)于P、Q，則以PQ為直徑的圓必經過焦點F(c，0)(或F(-c，0))及雙曲線外的一個定點(a2-b2c，0)(或(-a2-b2c，0)).

性質3 已知拋物線y2=2px(p>0)及定點N(n，0)(n>0)，過點N任作一直線交拋物線于A1、A2兩點，A3為拋物線上不同于A1、A2的任一點.設直線A1A3、A2A3分別交直線l:x=-n于P、Q，則以線段PQ為直徑的圓必經過拋物線內外的兩個定點.(證明與定理1的證明相同，這里從略).

推論3 已知拋物線y2=2px(p>0)，過其焦點F(p2，0)任作一直線交拋物線于A1、A2兩點，A3為拋物線上不同于A1、A2的任一點.設直線A1A3、A2A3分別交準線l:x=-p2于P、Q，則以線段PQ為直徑的圓必經過拋物線的焦點F(p2，0)及拋物線外的一個定點(-32p，0).

推論 F為圓錐曲線的焦點，l為其對應的準線，過點F任作一直線交曲線于A1、A2兩點，A3為曲線上不同于A1、A2的任一點.設直線A1A3、A2A3分別交準線l于P、Q，則以線段PQ為直徑的圓必經過焦點F及曲線外的一個定點.