２００８年高考數學（江蘇卷）一道立體幾何題別解兩法

2008年高考數學(江蘇卷)附加題第22題(必做題)：

如圖1，設動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，記D1PD1B=λ，當∠APC為鈍角時，求λ的取值范圍.

參考答案［１］給出一種解法——空間向量坐標法.經過分析，探求，筆者發現這道題還有別的兩種解法.

解法1：由題設知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC=BD=2，BD1=3，DD1⊥平面ABCD(如圖2).

∵D1P=λD1B，∴PB=(1-λ)D1B=3(1-λ).在平面BDD1內過點P作PM⊥BD于M，則PM⊥平面ABCD.設AC，BD交于O，連接PO，由三垂線定理知，PO⊥AC，且有BM=(1-λ)BD=2(1-λ)，PM=(1-λ)DD1=1-λ.則OM=|BM-BO|=2|12-λ|，∴Rt△POM中PO=PM2+OM2=(1-λ)2+2(12-λ)2>0，又正方體ABCD-A1B1C1D1中，易證△ABD1≌△CBD1，進而得AP=CP，則當∠APC為鈍角時，45°<∠APO=12∠APC<90°，∴tan∠APO=AOPO=

22(1-λ)2+2(12-λ)2>1，去分母整理得(3λ-1)(λ-1)<0，∴13<λ<1，即λ∈(13，1).

解法2：由題設知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥BC，AB⊥DD1，BC⊥DD1，BA=-D1C1，BC=-D1A1，且|BA|=|BC|=1，|D1B|=3(如圖3).∵D1P=λD1B，∴PB=(1-λ)D1B，PA=PB+BA=(1-λ)D1B+BA，|PA|=［(1-λ)D1B］+BA］2=

(1-λ)2|D1B|2+2(1-λ)BA#8226;(D1A1+D1C1+D1D)+|BA|2

=3(1-λ)2-2(1-λ)+1>0，同理|PC|=3(1-λ)2-2(1-λ)+1，又PA#8226;PC=［(1-λ)D1B+BA］#8226;［(1-λ)D1B+BC］=3(1-λ)2-2(1-λ).當∠APC為鈍角時，

∵-1<cos<PA，PC>=PA#8226;PC|PA||PC|=

3(1-λ)2-2(1-λ)3(1-λ)2-2(1-λ)+1<0，且3(1-λ)2-2(1-λ)>-13(λ-23)2+23>0恒成立.

∴3(1-λ)2-2(1-λ)<0，解之得13<λ<1，即λ∈(13，1).

以上兩法雖說不比參考答案簡潔多少，然而換個角度，另擇途徑，且殊途同歸.這對拓寬視野，啟迪思維，靈活運用知識，不無裨益.

參考文獻

［1］2008年普通高等學校招生統一考試(江蘇試題及參考答案).現代快報.2008，6，10.