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圓錐曲線的又一個優(yōu)美性質

2009-01-01 00:00:00耿合眾
中學數(shù)學研究 2009年1期

新課標高中數(shù)學選修4-1即幾何證明選講(北師大版),在圓錐曲線的幾何性質的習題和復習題中,都涉及了橢圓的一個性質,在教學中通過演算感到結論很是優(yōu)美.下面給出證明并推廣到雙曲線和拋物線,使之成為圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質.

性質1 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(xiàn)為橢圓的一個焦點,l為其相應的準線,點P是橢圓上的一點,過點P作橢圓的切線,交準線l于點Q,此時:PF⊥QF.

證明:僅證F是左焦點的情形,則F(-c,0),l:x=-a2c,不妨設點P在第二象限,由題知,過點P橢圓的切線斜率存在,記切線方程為y=kx+t,代入橢圓方程x2a2+y2b2=1,得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0.∵△=0,即(2a2kt)2-4(b2+a2k2)(a2t2-a2b2)=0,整理得t2=b2+a2k2.∴xp=-2a2kt2(b2+a2k2)=-a2ktt2=-a2kt,yp=kxp+t=-a2k2t+t=b2t.則P(-a2kt,b2t),又準線l:x=-a2c,和切線y=kx+t的交點Q的坐標為(-a2c,-a2k+tcc),注意到a2-c2=b2,則PF=(-c+a2kt,-b2t)=(-ct+a2kt,-b2t),QF=(-c+a2c,a2k-tcc)=(b2c,a2k-tcc),PF#8226;QF=-ct+a2kt#8226;b2c-b2t#8226;a2k-tcc=0.即PF⊥QF.

F是右焦點的情況,結論仍成立.

性質2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)為雙曲線的一個焦點,l為其相應的準線,點P是雙曲線上的一點,過點P作雙曲線的切線,交準線l于點Q,此時:PF⊥QF.

證明:僅證F是右焦點的情形,則F(c,0),l:x=a2c,不妨設點P在第一象限,由題知,過點P雙曲線的切線斜率存在,記切線方程為y=kx+t,代入雙曲線方程x2a2-y2b2=1,得(b2-a2k2)x2-2a2ktx-(a2t2+a2b2)=0.∵b2-a2k2≠0且△=0,即(-2a2kt)2+4(b2-a2k2)(a2t2+a2b2)=0,整理得t2=a2k2-b2.∴xp=2a2kt2(b2-a2k2)=a2kt-t2=-a2kt,yp=kxp+t=-a2k2t+t=-b2t,則P(-a2kt,-b2t),又準線l:x=a2c和切線y=kx+t的交點Q的坐標為(a2c,a2k+tcc),注意到c2-a2=b2,則PF=(c+a2kt,b2t)=(ct+a2kt,b2t),QF=(c-a2c,-a2k+tcc)=(b2c,-a2k+tcc),PF#8226;QF=ct+a2kt#8226;b2c-b2t#8226;a2k+tcc=0.即PF⊥QF.

F是左焦點的情況,結論仍成立.

性質3 已知拋物線y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線的焦點,l為其準線,點P是拋物線上的一點,過點P作拋物線的切線,交準線l于點Q,此時:PF⊥QF.

證明:由題知F(p2,0),l:x=-p2,不妨設點P在第一象限,由題知,過點P拋物線的切線斜率存在,記切線方程為y=kx+t,代入拋物線y2=2px,得k2x2+(2kt-2p)x+t2=0,則k2≠0且△=0,即(2kt-2p)2-4k2t2=0,整理得p=2kt.∴xp=-(2kt-2p)2k2=2kt2k2=tk,yp=kxp+t=k#8226;tk+t=2t,即P(tk,2t),又準線l:x=-p2和切線y=kx+t的交點Q的坐標為(-p2,t-k2t),則PF=(p2-tk,-2t)=(k2t-tk,-2t),QF=(p,k2t-t)=(2kt,k2t-t),PF#8226;QF=k2t-tk#8226;2kt-2t(k2t-t)=0,即PF⊥QF.由此可得圓錐曲線的一個統(tǒng)一的幾何性質:

圓錐曲線的一個焦點為F,相應的準線為l,過圓錐曲線上任意點P作圓錐曲線的切線交準線l于點Q,則PF⊥QF.

參考文獻

[1]嚴士鍵,王尚志.普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學(選修4-1)幾何證明選講.北京師范大學出版社,2007.

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