圓錐曲線的又一個優(yōu)美性質

新課標高中數(shù)學選修4-1即幾何證明選講(北師大版)，在圓錐曲線的幾何性質的習題和復習題中，都涉及了橢圓的一個性質，在教學中通過演算感到結論很是優(yōu)美.下面給出證明并推廣到雙曲線和拋物線，使之成為圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質.

性質1 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，l為其相應的準線，點P是橢圓上的一點，過點P作橢圓的切線，交準線l于點Q，此時：PF⊥QF.

證明：僅證F是左焦點的情形，則F(-c，0)，l:x=-a2c，不妨設點P在第二象限，由題知，過點P橢圓的切線斜率存在，記切線方程為y=kx+t，代入橢圓方程x2a2+y2b2=1，得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0.∵△=0，即(2a2kt)2-4(b2+a2k2)(a2t2-a2b2)=0，整理得t2=b2+a2k2.∴xp=-2a2kt2(b2+a2k2)=-a2ktt2=-a2kt，yp=kxp+t=-a2k2t+t=b2t.則P(-a2kt，b2t)，又準線l:x=-a2c，和切線y=kx+t的交點Q的坐標為(-a2c，-a2k+tcc)，注意到a2-c2=b2，則PF=(-c+a2kt，-b2t)=(-ct+a2kt，-b2t)，QF=(-c+a2c，a2k-tcc)=(b2c，a2k-tcc)，PF#8226;QF=-ct+a2kt#8226;b2c-b2t#8226;a2k-tcc=0.即PF⊥QF.

F是右焦點的情況，結論仍成立.

性質2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，F(xiàn)為雙曲線的一個焦點，l為其相應的準線，點P是雙曲線上的一點，過點P作雙曲線的切線，交準線l于點Q，此時：PF⊥QF.

證明：僅證F是右焦點的情形，則F(c，0)，l:x=a2c，不妨設點P在第一象限，由題知，過點P雙曲線的切線斜率存在，記切線方程為y=kx+t，代入雙曲線方程x2a2-y2b2=1，得(b2-a2k2)x2-2a2ktx-(a2t2+a2b2)=0.∵b2-a2k2≠0且△=0，即(-2a2kt)2+4(b2-a2k2)(a2t2+a2b2)=0，整理得t2=a2k2-b2.∴xp=2a2kt2(b2-a2k2)=a2kt-t2=-a2kt，yp=kxp+t=-a2k2t+t=-b2t，則P(-a2kt，-b2t)，又準線l:x=a2c和切線y=kx+t的交點Q的坐標為(a2c，a2k+tcc)，注意到c2-a2=b2，則PF=(c+a2kt，b2t)=(ct+a2kt，b2t)，QF=(c-a2c，-a2k+tcc)=(b2c，-a2k+tcc)，PF#8226;QF=ct+a2kt#8226;b2c-b2t#8226;a2k+tcc=0.即PF⊥QF.

F是左焦點的情況，結論仍成立.

性質3 已知拋物線y2=2px(p>0)，F(xiàn)為拋物線的焦點，l為其準線，點P是拋物線上的一點，過點P作拋物線的切線，交準線l于點Q，此時：PF⊥QF.

證明：由題知F(p2，0)，l:x=-p2，不妨設點P在第一象限，由題知，過點P拋物線的切線斜率存在，記切線方程為y=kx+t，代入拋物線y2=2px，得k2x2+(2kt-2p)x+t2=0，則k2≠0且△=0，即(2kt-2p)2-4k2t2=0，整理得p=2kt.∴xp=-(2kt-2p)2k2=2kt2k2=tk，yp=kxp+t=k#8226;tk+t=2t，即P(tk，2t)，又準線l:x=-p2和切線y=kx+t的交點Q的坐標為(-p2，t-k2t)，則PF=(p2-tk，-2t)=(k2t-tk，-2t)，QF=(p，k2t-t)=(2kt，k2t-t)，PF#8226;QF=k2t-tk#8226;2kt-2t(k2t-t)=0，即PF⊥QF.由此可得圓錐曲線的一個統(tǒng)一的幾何性質：

圓錐曲線的一個焦點為F，相應的準線為l，過圓錐曲線上任意點P作圓錐曲線的切線交準線l于點Q，則PF⊥QF.

參考文獻

［1］嚴士鍵，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學(選修4-1)幾何證明選講.北京師范大學出版社，2007.