圓錐曲線的又一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)選修4-1即幾何證明選講(北師大版)，在圓錐曲線的幾何性質(zhì)的習(xí)題和復(fù)習(xí)題中，都涉及了橢圓的一個(gè)性質(zhì)，在教學(xué)中通過(guò)演算感到結(jié)論很是優(yōu)美.下面給出證明并推廣到雙曲線和拋物線，使之成為圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì).

性質(zhì)1 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，l為其相應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，此時(shí)：PF⊥QF.

證明：僅證F是左焦點(diǎn)的情形，則F(-c，0)，l:x=-a2c，不妨設(shè)點(diǎn)P在第二象限，由題知，過(guò)點(diǎn)P橢圓的切線斜率存在，記切線方程為y=kx+t，代入橢圓方程x2a2+y2b2=1，得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0.∵△=0，即(2a2kt)2-4(b2+a2k2)(a2t2-a2b2)=0，整理得t2=b2+a2k2.∴xp=-2a2kt2(b2+a2k2)=-a2ktt2=-a2kt，yp=kxp+t=-a2k2t+t=b2t.則P(-a2kt，b2t)，又準(zhǔn)線l:x=-a2c，和切線y=kx+t的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-a2c，-a2k+tcc)，注意到a2-c2=b2，則PF=(-c+a2kt，-b2t)=(-ct+a2kt，-b2t)，QF=(-c+a2c，a2k-tcc)=(b2c，a2k-tcc)，PF#8226;QF=-ct+a2kt#8226;b2c-b2t#8226;a2k-tcc=0.即PF⊥QF.

F是右焦點(diǎn)的情況，結(jié)論仍成立.

性質(zhì)2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，F(xiàn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，l為其相應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線的切線，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，此時(shí)：PF⊥QF.

證明：僅證F是右焦點(diǎn)的情形，則F(c，0)，l:x=a2c，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題知，過(guò)點(diǎn)P雙曲線的切線斜率存在，記切線方程為y=kx+t，代入雙曲線方程x2a2-y2b2=1，得(b2-a2k2)x2-2a2ktx-(a2t2+a2b2)=0.∵b2-a2k2≠0且△=0，即(-2a2kt)2+4(b2-a2k2)(a2t2+a2b2)=0，整理得t2=a2k2-b2.∴xp=2a2kt2(b2-a2k2)=a2kt-t2=-a2kt，yp=kxp+t=-a2k2t+t=-b2t，則P(-a2kt，-b2t)，又準(zhǔn)線l:x=a2c和切線y=kx+t的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a2c，a2k+tcc)，注意到c2-a2=b2，則PF=(c+a2kt，b2t)=(ct+a2kt，b2t)，QF=(c-a2c，-a2k+tcc)=(b2c，-a2k+tcc)，PF#8226;QF=ct+a2kt#8226;b2c-b2t#8226;a2k+tcc=0.即PF⊥QF.

F是左焦點(diǎn)的情況，結(jié)論仍成立.

性質(zhì)3 已知拋物線y2=2px(p>0)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，l為其準(zhǔn)線，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的切線，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，此時(shí)：PF⊥QF.

證明：由題知F(p2，0)，l:x=-p2，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題知，過(guò)點(diǎn)P拋物線的切線斜率存在，記切線方程為y=kx+t，代入拋物線y2=2px，得k2x2+(2kt-2p)x+t2=0，則k2≠0且△=0，即(2kt-2p)2-4k2t2=0，整理得p=2kt.∴xp=-(2kt-2p)2k2=2kt2k2=tk，yp=kxp+t=k#8226;tk+t=2t，即P(tk，2t)，又準(zhǔn)線l:x=-p2和切線y=kx+t的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-p2，t-k2t)，則PF=(p2-tk，-2t)=(k2t-tk，-2t)，QF=(p，k2t-t)=(2kt，k2t-t)，PF#8226;QF=k2t-tk#8226;2kt-2t(k2t-t)=0，即PF⊥QF.由此可得圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一的幾何性質(zhì)：

圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，相應(yīng)的準(zhǔn)線為l，過(guò)圓錐曲線上任意點(diǎn)P作圓錐曲線的切線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，則PF⊥QF.

參考文獻(xiàn)

［1］嚴(yán)士鍵，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)(選修4-1)幾何證明選講.北京師范大學(xué)出版社，2007.