一個優美的無理不等式的加強與推廣

最近，宋慶先生在文［1］中得到了如下一個優美的無理不等式

定理1 若a，b>0，滿足a+b=1，則1a-a+1b-b≥26 (1)

進而提出如下

猜想 若a，b，c>0，滿足a+b+c=1，則1a-a+1b-b+1c-c≥26 (2)

經探討發現，(1)式可進一步加強為(3)式，并且可借助加強式證明上述猜想.

定理2 若a，b>0，滿足a+b≤1，則1a-a+1b-b≥22a+b-a+b2 (3)

證明：記a+b=s，ab=t，則t=ab<(a+b2)2=s24≤14，即4t≤s2.

(3)式平方等價于1a-a+1b-b+2(1a-a)(1b-b)≥4(2a+b-a+b2)1a-a+1b-b+2(1a-a)(1b-b)≥4(2a+b-a+b2)21+a2b2-(a+b)2+2abab≥8a+b-(a+b)-a+bab21+t2-s2+2tt≥8s-s-st (4)

若8s-s-st≤0，即00≥8s-s-st，(4)顯然成立.

若17

因為17

下面借助(3)式證明(2)式成立.

因為a，b，c>0，a+b+c=1，所以a+b=1-c<1，由(3)式知1a-a+1b-b+1c-c+1a+b+c3-a+b+c3≥22a+b-a+b2+22c+a+b+c3-c+a+b+c32=

2(1a+b2-a+b2+1c+a+b+c32-c+a+b+c32≥42a+b2+c+a+b+c32-a+b2+c+a+b+c32

=41a+b+c3-a+b+c3，∴1a-a+1b-b+1c-c≥31a+b+c3-a+b+c3=33-13=26.

經探討發現，(1)、(2)、(3)式可以統一推廣為

定理3 若ai>0(i=1，2，…，n)，n∈N+，n≥2，滿足∑ni=1ai≤1，則∑ni=11ai-ai≥nn∑ni=1ai-∑ni=1ain. (6)

下面采用數學歸納法證明(6)式成立.

證明：當n=2時，由定理2知(6)式成立.假設當n=k(k≥2)時，(6)式成立，即

∑ki=11ai-ai≥k11k∑ki=1ai-∑ki=1aik，則當n=k+1時，∑k+1i=11ai-ai+(k-1)k+1∑k+1i=1ai-∑k+1i=1aik+1

=∑ki=11ai-ai+1ak+1-ak+1+(k-1)#8226;k+1∑k+1i=1ai-∑k+1i=1aik+1≥k11k∑ki=1ai-∑ki=1aik+

k11k(ak+1+k-1k+1∑k+1i=1ai)-ak+1+k-1k+1∑k+1i=1aik

≥k(11k∑ki=1ai-∑ki=1aik+11k(ak+1+k-1k+1∑k+1i=1ai)-ak+1+k-1k+1∑k+1i=1aik)≥

2k112［1k∑ki=1ai+1k(ak+1+k-1k+1∑k+1i=1ai)］-1k∑ki=1ai+1k(ak+1+k-1k+1∑k+1i=1ai)2

=2kk+1∑k+1i=1ai-a∑k+1i=1aik+1，即∑k+1i=11ai-ai≥(k+1)k+1∑ki=1ai-∑k+1i=1aik+1.

綜上可知，對于一切n∈N+，n≥2，(6)式成立.

參考文獻

［1］宋慶.兩個優美的無理不等式.中學數學研究(廣州)，2008(1).