例談數形結合突破代數證明題

數形結合是把抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，以形助數，以數解形，化繁為簡，化抽象為具體，從而起到探求解題思路，優化解題途徑的作用.因而，數形結合思想在解題中應用十分廣泛.

高考中對數形結合思想的考查主要體現在解答選擇題和填空題上，對于這兩部分試題，通過數形結合可以檢驗、否定一部分命題，簡化計算過程.相對而言，由于解答題特別是代數證明題作答時的嚴謹性要求，數形結合直接用作解答過程的情形不多，但數形結合思想從本質上體現了數學規律性與靈活性的融合，在解決代數證明題時，若能充分借助“形”的形象、直觀、易于從整體上定性分析的特點，常可多角度地找到解題突破口，使解決問題的方法靈活多樣.

1.數形結合探索解題途徑

例1 (2008年江蘇高考題)若f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2#8226;3|x-p2|(x∈R，p1，p2為常數).函數f(x)定義為：對每一個給定的實數x，f(x)=f1(x)，f(x1)≤f2(x)，

f2(x)，f1(x)>f2(x).

(1)求f(x)=f1(x)對所有的實數x成立的充分必要條件(用p1，p2表示)；

(2)設a，b為兩個實數，滿足a

解：(1)f(x)=f1(x)恒成立f1(x)≤f2(x)3|x-p1|≤2#8226;3|x-p2|3|x-p1|-|x-p2|≤2|x-p1|-|x-p2|≤log32恒成立.(*)

已知函數|x-p1|-|x-p2|(x∈R)的最大值為|p2-p1|，故(*)等價于|p2-p1|≤log32，這就是所求的充要條件.

(2)分析：要解決本題，必須先求出函數

f(x)的單調增區間.由第(1)題知，當|p2-p1|≤log32時f(x)=f1(x)，此時函數f(x)的圖像關于直線x=p1對稱(見圖1).由f(a)=f(b)知p1=a+b2，單調增區間為［p1，b］，因此增區間的長度為b-p1=b-a2.

當|p2-p1|>log32時，不妨設p1log32，作出函數f(x)的圖像，如圖2，函數f(x)在區間［p1，x0］和［p2，b］上單調遞增，單調增區間的長度和為x0-p1+b-p2，關鍵要求出x0的值.

解：(2)，分兩種情況討論：

1°.當|p2-p1|≤log32時，由(1)知f(x)=f1(x)(對所有實數x∈［a，b］).由于f(x)=f1(x)的圖像關于直線x=p1對稱，又f(a)=f(b)及a

2°.當|p2-p1|>log32時，不妨設p1log32，當x≤p1時，有f1(x)=3p1-x<3p2-x3log32#8226;3x-p2=f2(x)，從而f(x)=f2(x).當p1

f2(x)，x0

綜上可知，在區間［a，b］上，f(x)=f1(x)，a≤x≤x0，

f2(x)，x0

綜合1°、2°可知，函數f(x)在區間［a，b］上的單調增區間的長度和為b-a2.

本題主要考查函數的概念、性質、圖像，以及命題之間的關系等基礎知識，考查靈活應用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.通過作出函數的圖像求單調區間是一種基本方法，在本題中更是起到了探索解題關鍵、明晰解題方向的作用.

2.數形結合突顯解題目標

例2 (2004年上海高考題)已知二次函數y=f1(x)的圖像以原點為頂點且過點(1，1)，反比例函數y=f2(x)的圖像與直線y=x的兩個交點間距為8，f(x)=f1(x)+f2(x).

(1)求函數f(x)的表達式；

(2)證明：當a>3時，關于x的方程f(x)=f(a)有三個實數解.

分析：易得f(x)=x2+8x.由f(x)=f(a)得x2+8x=a2+8a，即8x=-x2+a2+8a.在同一坐標系中作出f2(x)=8x和f3(x)=-x2+a2+8a的大致圖像，其中y=f2(x)

的圖像是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線；f3(x)的圖像是以(0，a2+8a)為頂點，開口向下的拋物線.(如圖3所示)

因此，f2(x)與f3(x)的圖像在第三象限有一個交點，即f(x)=f(a)有一個負數解.

要證明關于x的方程f(x)=f(a)有三個實數解，只要證明f(x)=f(a)還有兩個正數解，即只要證明在第一象限中，f2(x)=8x圖像上至少有一點在f3(x)=-x2+a2+8a圖像的下方.易知，a>3時，f2(2)-f3(2)=8-a2-8a<0，因此，在第一象限中，f2(x)=8x圖像上存在一點(2，f2(2))在f3(x)=-x2+a2+8a圖像的下方，命題得證.

本題通過數形結合將a>3時方程f(x)=f(a)有解問題轉化為函數f2(x)與f3(x)的圖像有公共點的問題，突顯了解題目標，避免了對方程解的個數的討論.

3.數形結合轉化題設條件

例3 已知f(x)=ax2+2bx+4c(a，b，c∈R).

(1)若f(x)同時滿足下列條件①a>0;②當|x|≤2時，有|f(x)|≤2；③當|x|≤1時，f′(x)的最大值為2，求f(x)的解析式；

(2)當b=4，c=34時，對于給定的負數a，有一個最大的正數l(a)，使得x∈［0，l(a)］時，都有|f(x)|≤5，問a為何值時，l(a)最大，并求出這個最大值.

解：(1)f′(x)=2ax+2b，∵a>0，

∴f′(x)在［-1，1］上是增函數，因此有f′(1)=2a+2b=2，即a+b=1.所以f(x)=ax2+2(1-a)x+4c.

當|x|≤2時，由|f(x)|≤2知|f(0)|≤2，|f(2)|≤2，即-2≤4c≤2，-2≤4+4c≤2，所以4c=-2，即f(x)=ax2+2(1-a)x-2.

又當|x|≤2時，有|f(x)|≤2，且x=0時，f(x)=-2知，x=0時f(x)取得最小值-2，因此b=0，a=1.即f(x)=x2-2.

(2)分析：|f(x)|≤5，即-5≤f(x)≤5，要使得x∈［0，l(a)］時，都有|f(x)|≤5，只要x∈［0，l(a)］時，f(x)的圖像在直線x=-5和x=5之間.可以通過數形結合，找出l(a)的取值條件.

解：(2)f(x)=ax2+8x+3=a(x+4a)2+3-16a，函數y=f(x)的圖像的對稱軸為x=-4a，在y軸右側，頂點在x軸上方.

①當3-16a>5，即-8

本題把條件|f(x)|≤5轉化為-5≤f(x)≤5，結合函數圖像進一步把條件轉化為一元二次方程根的問題，從而使本題易于入手.

在運用數形結合解決代數證明題時，必須突破由“形”得“數”和由“數”構“形”兩關，精心聯想“數”和“形”.若能有意識地把解題目標、題設條件幾何化，通過圖形分析尋找解題途徑，必能多角度地找到突破口，提高解答代數證明題的能力.