高考中抽象函數(shù)的五類問題

我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù).由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身，所以在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，學(xué)生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，縱觀高考抽象函數(shù)問題，可歸納為以下五類問題.

一、求抽象函數(shù)的函數(shù)值

例1 函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=1f(x)，若f(1)=-5，則f(f(5))= .

考點分析：本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，屬中檔題.

解析：由f(x+2)=1f(x)得f(x+4)=1f(x+2)=f(x)，所以f(5)=f(1)=-5，則f(f(5))=f(-5)=f(-1)=1f(-1+2)

=-15.

窺管之見：函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外，一般都比較靈活，本題應(yīng)直觀理解f(x+2)=1f(x)“只要加2，則變倒數(shù)，加兩次返回原位”，則一通盡通也.

例2 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為().

A.-1 B.0 C.1 D.2

考點分析：本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性，屬基礎(chǔ)題.

解析：由f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得f(0)=0，∴f(6)=f(4+2)=f(2)=-f(0)=0，故選擇B.

窺管之見：本題用到兩重要性質(zhì)：①f(x+a)=-f(x)f(x)的周期為2a;②若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0.

二、求抽象函數(shù)的定義域

例3 已知函數(shù)y=f(x)的定義域是［-2，2］，則函數(shù)y=f(x)的定義域是.

解析：由-2≤x≤2，

x≥0，解得0≤x≤4.

例4 已知函數(shù)f［lg(x+1)］的定義域是［0，9］，則函數(shù)f(x2)的定義域是 .

解析：∵函數(shù)f［lg(x+1)］的定義域是［0，9］，∴1≤x+1≤10，∴0≤lg(x+1)≤1，

∴f(x)定義域是［0，1］，由0≤x2≤1，解得-1≤x≤1.

窺管之見：若已知函數(shù)f(x)的定義域為［a，b］，求復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的定義域則可由不等式a≤g(x)≤b解得；若f［g(x)］的定義域為［a，b］，是指g(x)中的x為［a，b］，g(x)的值域為f(x)的定義域.抓住了函數(shù)定義域中的“x”則游刃有余.

三、與抽象函數(shù)有關(guān)方程解的個數(shù)

例5 定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期，若將方程f(x)=0在閉區(qū)間［-T，T］上的根的個數(shù)記為n，則n可能為().

A.0 B.1 C.3 D.5

解析：定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，f(0)=0，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期，∴f(T)=f(-T)=0，f(T2)=-f(T2)=f(-T2+T)=f(T2)=0，故選擇D.

窺管之見：本題重在考查抽象函數(shù)的奇函數(shù)、周期性，若沒深刻理解函數(shù)的奇偶性、周期性就很容易錯選C.

例6 設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)y=f(x)的對稱軸為x=2和x=7，從而知函數(shù)y=f(x)不是奇函數(shù)，由f(2-x)=f(2+x)

f(7-x)=f(7+x)

f(x)=f(4-x)

f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)，從而知函數(shù)y=f(x)的周期T=10.又f(3)=f(0)=0，而f(7)≠0，故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).

(2)又f(3)=f(0)=0，f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0，故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有兩個解，從而可知函數(shù)y=f(x)在［0，2005］上有402個解，在［-2005，0］上有400個解，所以函數(shù)y=f(x)在［-2005，2005］上有802個解.

窺管之見：此題考查函數(shù)軸對稱和周期性問題.考查性質(zhì)：若f(a+x)=f(b-x)，則f(x)具備軸對稱性x=a+b2;f(x)在(-∞，+∞)上滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，則函數(shù)周期為2(b-a).

四、抽象函數(shù)的圖像(增減性、對稱性)

例7 設(shè)f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0，3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱，則下面正確的結(jié)論是().

A.f(1.5)

B.f(3.5)

C.f(6.5)

D.f(3.5)

解析：∵f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，∴f(x+6)=f(x)，∴f(6.5)=f(0.5+6)=f(0.5)，由圖像關(guān)于直線x=3對稱，

∴f(6-x)=f(x)，∴f(3.5)=f(6-3.5)=f(2.5)，又f(x)在(0，3)內(nèi)單調(diào)遞減，

∴f(2.5)

五、綜合考查抽象函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、周期性、對稱性、奇偶性等)

例8 設(shè)函數(shù)f(x)對于任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0時f(x)<0，f(1)=-2.

(1)求證f(x)是奇函數(shù)；

(2)在-3≤x≤3時，f(x)是否有最值，如果有，求出最值；如果沒有，說明理由.

解析：(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，y=-x，則f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0，f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函數(shù).

(2)設(shè)x10時，f(x)<0，∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0即f(x2)

窺管之見：在解決抽象函數(shù)問題中取特殊值是很巧的一招，在不能求出解析式的情況下求最值，盡量用函數(shù)單調(diào)性解決.

例9 已知f(x)是定義在區(qū)間［-1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a，b∈［-1，1］，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b>0成立.

(1)判斷f(x)在區(qū)間［-1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)?并證明；

(2)解不等式f(x+12)

解析：(1)任取x1，x2∈［-1，1］，且x10，∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x)在區(qū)間［-1，1］上是增函數(shù).

(2)∵f(x)在區(qū)間［-1，1］上是增函數(shù)，由f(x+12)

-1≤1x-1≤1，

x+12<1x-1，解得-32≤x<-1.∴不等式的解集為{x|-32≤x<-1}.

例10 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足條件：①對任意x，y都f(x)+f(y)=1+f(x+y)；②對所有非零實數(shù)x，都有f(x)=x#8226;f(1x).

(1)求證：對任意實數(shù)x，f(x)+f(-x)=2;

(2)求函數(shù)f(x)的解析式；

(3)設(shè)g(x)=f2(x)-2x(x>0)，直線y=-x+2n(n∈N*)分別與函數(shù)y=g(x)，y=g-1(x)相交于An，Bn兩點.設(shè)an=|AnBn|(|AnBn|表示An，Bn兩點間的距離)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求證：12≤S2n-Sn<34.

解析：(1)由①令x=y=0得f(0)=1，又令y=-x，可得f(x)+f(-x)=1+f(0)=2;

(2)把②代入(1)中的結(jié)論可得xf(1x)-xf(-1x)=2，∴xf(1x)-x(2-f(1x))=2，∴f(1x)=x+1x，∴f(x)=1+x(x≠0).

(3)由(2)知g(x)=x2+1(x>0)，則由y=x2+1，

y=-x+2n，得An(2n2-122n，2n2+122n)，

∴Bn(2n2+122n，2n2-122n).∴an=|AnBn|=1n.

∴Sn=1+12+13+…+1n，S2n=1+12+13+…+1n+1n+1+…+12n，∴S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n≥n×12n=12，又令bn=S2n-Sn，則bn-bn-1=12n-1-12n=12n(2n-1)，∴bn=11×2+13×4+15×6+…+1(2n-1)2n，∴bn<11×2+12×3+13×4+…+1(2n-2)(2n-1)，由上兩式相加得2bn<12+(11×2+12×3+13×4+…+1(2n-1)2n)=12+(1-12n)<32，∴bn<34.

綜上可知12≤S2n-Sn<34.

窺管之見：在解決抽象函數(shù)問題中取特殊值是很重要的方法，此題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式的方法一般運用消元法或迭代法.只要求出了抽象函數(shù)解析式，其他問題就迎刃而解了.