優化解析幾何運算的五大策略

解析幾何是中學數學的重要內容，它涉及的知識面廣，方法靈活多變，是學習的重點和難點，也是歷年高考的熱點.在實際解題中，掌握運算方法，優化運算過程，提高運算速度，是解好解析幾何問題的關鍵.

策略一、回歸定義

運用相關的概念、定義把對問題的定性分析和定量計算有機地結合起來，可使問題解決起來思路清晰、運算過程簡捷明快.

例1 在橢圓x225+y29=1上求一點P，使點P到右焦點的距離等于它到左焦點距離的4倍.

分析：設P(x1，y1)，根據題設條件，點P滿足方程組x2125+y219=1，

(x1-4)2+y21=4(x1+4)2+y21，這是一個復雜的運算.如何避免呢?根據橢圓的第二定義，可以得到焦半徑公式，這樣求解起來就簡單得多.

解：由橢圓方程知F(-4，0)，F(4，0)，e=ca=45.設所求點P(x1，y1)，∵點P在y軸的左邊，∴x1<0，焦半徑|PF1|=a+ex1=5+45#8226;x1，|PF2|=a-ex1=5-45x1，由題意有4(5+45x1)=5-45x1，∴x1=-154，從而y1=±374.故所求點P的坐標為(-154，-374)或(-154，374).

評注：凡涉及焦點坐標、離心率、準線、焦距、焦半徑等問題，往往與定義有關，求解時采用回歸定義策略是優化解題運算的重要途徑.

策略二、借助平幾

解析幾何和平面幾何研究的對象都是幾何問題，區別在于研究的手段不同，所以有些解析幾何問題借助平面幾何知識可以簡化運算，起到事半功倍的效果.

例2 已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過點A(1，0)，且與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N.求證：AM#8226;AN為定值.

分析：若設l1方程為y=k(x-1)，代入圓方程C，用k表示出弦PQ中點M的坐標，再求出l1與l2的交點N的坐標，最后代入計算AM#8226;AN的值，則顯得比較繁冗.如果能充分考慮題中條件的平面幾何背景，注意到AC所在直線與l2的垂直關系，利用相似三角形知識求解，則顯得非常簡便.

證明：∵C(3，4)，∴AC所在直線的方程為y-04-0=x-13-1，即2x-y-2=0.又l2方程為x+2y+2=0.∴AC⊥l2.如右圖，設垂足為B，再由M為弦PQ中點知，CM⊥PQ，故△AMC∽△ABN，∴AMAB=ACAN，于是AM#8226;AN=AB#8226;AC=|1+2|12+22#8226;(3-1)2+42=35#8226;25=6.∴AM#8226;AN為定值.

評注：本題從條件中挖掘得出AC⊥l2，是使命題順利得證的關鍵一步.

策略三、設而不求

解析幾何中有些問題，若把所涉及的量全部計算出來再加以解決，有時顯得多余而低效.設而不求，盡顯方法之絕妙，是優化運算、提高解題效率的重要策略.

例3 已知直線l交雙曲線x25-y24=1的右支于M、N兩點，定點B(0，4).若△BMN的重心為雙曲線的右焦點.求直線l的方程.

解：雙曲線的右焦點F(3，0)，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由F為△BMN的重心得x1+x23=3，y1+y2+43=0.于是x1+x2=9，y1+y2=-4.∴線段MN中點P的坐標為(92，-2).又M、N在雙曲線上，∴x215-y214=1 ①，x225-y224=1 ②.①-②得kMN=y1-y2x1-x2=4(x1+x2)5(y1+y2)=4×95×(-4)=-95.故直線l的方程為y+2=-95(x-92)，即18x+10y-61=0.

評注：上述解法中涉及M、N兩個點坐標的4個參數，但本題目標是求直線l的方程，故只需求出MN中點P的坐標和l的斜率.故設而不求，在解題中只讓這些參數體現其橋梁和紐帶作用.

策略四、合理引參

處理解析幾何問題時，恰當地引入參變量，把許多相關或不相關的量統一在一個參數下，往往能起到減少變量、簡化結構、優化運算的作用.

例4 已知橢圓x29+y24=1，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于P(x0，0)，試求x0的取值范圍.

分析：若用常規方法求解，涉及A、B兩點和線段AB的中點M的坐標共6個參變量，頭緒繁多，需不斷進行思維轉換.如引入參數，則不但可以減少變量個數，同時也能優化問題的結構關系，從而便于化簡運算.

解：設A(3cosθ1，2sinθ1)，B(3cosθ2，2sinθ2)，則|PA|2=|PB|2可得，(x0-3cosθ1)2+(2sinθ1)2=(x0-3cosθ2)2+(2sinθ2)2，即5(cos2θ1-cos2θ2)=6x0(cosθ1-cosθ2).∵AB的垂直平分線與x軸相交，故AB與y軸不平行，即cosθ1≠cosθ2.所以有cosθ1+cosθ2∈(-2，2).從而x0=56(cosθ1+cosθ2)∈(-53，53).

評注：凡涉及曲線上點的坐標問題，采用合理引參，這是解析幾何中求取值范圍或求最值時的重要策略，其優點是能使解題思路清晰，加之三角知識的合理運用，使運算簡捷流暢，對問題的順利解決起到出奇制勝的效果.

策略五、整體代換

解析幾何的許多問題，常需在解題中把某個相關的式子看作整體，并將其代入另一式子，這種整體代換的做法有利于看清問題的本質，找出內在規律，更有利于簡化運算環節，使問題輕松獲解.

例5 已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點?若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

分析：常規解法是設所求直線l存在，方程為y=x+b，將其與圓的方程聯立，用l的斜率k表示x1x2和y1y2，然后代入x1x2+y1y2=0，求得k值，再檢驗所求得的k是否適合題意，從而確定l存在與否?相對而言，運算量較大.如果設出以AB為直徑的圓的方程，結合已知圓的方程，用整體代換表示出它們相交弦所在直線l的方程，再根據條件求出相關的參數，則運算過程必然簡捷得多.

解：由題意，可設以弦AB為直徑的圓方程為C′:x2+y2+Dx+Ey=0①，∵圓C:x2+y2-2x+4y-4=0，②.①-②得：(D+2)x+(E-4)y+4=0，此即直線l的方程.

由l的斜率為1可知：D+2=-(E-4)③，又圓心C′(-D2，-E2)在直線l上，故(D+2)(-D2)+(E-4)(-E2)+4=0④，由③④解得D=2

E=0或D=-3，

E=5.故存在滿足題意的直線l，其方程為x-y+1=0或x-y-4=0.

評注：本題從兩個圓的方程作差得l的方程，是解題的關鍵.在解析幾何中，當涉及直線系、曲線系等問題時經常采用整體代換方法來尋求解題途徑，這也是優化解析幾何運算的有效策略.

在解析幾何中，審清題意，明確目標是解題的基礎，而選擇合理的運算方法，掌握恰當的運算策略，對問題的順利獲解至關重要.