以函數(shù)ｆ（ｘ）＝｜ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ｜（ａ≠０）為載體的考題賞析

二次函數(shù)是高考數(shù)學中割舍不斷的函數(shù)“情結(jié)”，在歷年高考中創(chuàng)意不斷，深受命題者的親睞.函數(shù)f(x)=|ax2+bx+c|(a≠0)由于與二次函數(shù)是“近親”關(guān)系，所以也變得日趨活躍，“游離”在高考試題與競賽試題之間.這一類試題立意新穎、構(gòu)思巧妙，既有二次函數(shù)的本色又有絕對值的特性.對于這一類問題的解決我們往往需要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題及結(jié)合函數(shù)f(x)=|ax2+bx+c|的圖像和絕對值不等式的性質(zhì)來進行分析討論，具有較高的解題技巧，本文主要通過幾道典型的試題來加以歸納、梳理與剖析，旨在發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律.

一、函數(shù)與最值

函數(shù)的最值問題是高考數(shù)學中非常活躍的因素之一，以函數(shù)f(x)=|ax2+bx+c|為載體設(shè)計的函數(shù)最值問題，由于命題者的匠心獨具，往往更具有較強的思辨性.

例1 (2008年浙江省高考數(shù)學試題)已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間［0，3］上的最大值為2，則t= .

解：把函數(shù)化為y=|x2-2x-t|=|(x-1)2-1-t|.①當-1-t>0時，即t<-1時，此時y=(x-1)2-1-t，所以當x=3時，y取最大值，因此ymax=3-t=2t=1(和t<-1矛盾，舍去).②當-1-t≤0時，即t≥-1時，此時結(jié)合函數(shù)y=|x2-2x-t|的圖像，若x=1時，y取最大值，ymax=|-1-t|=2t=1(符合題意)；若x=3時，y取最大值，ymax=|3-t|=2t=1或t=5，易驗證t=5不符合題意.所以答案為t=1.

例2 (第十五屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽(高一))已知函數(shù)f(x)=|x2+bx+c|在［0，2］上的最大值是t，且f(1)=0，b>0，將t表示成b的函數(shù)g(b)，則g(b)= .

解：由f(1)=0知x1=1是方程x2+bx+c=0的一個根，故由韋達定理得到另一個根為x2=-1-b<-1，于是x1x2=-1-b=c，函數(shù)f(x)圖像的對稱軸為x=-b2<0，在區(qū)間［0，2］上，∵f(0)=|c|=b+1

例3 (2006年河北省高中數(shù)學競賽試題)已知函數(shù)f(x)=x2+px+q(p、q為任意實數(shù))，x∈［0，2］，|f(x)|的最大值是M，求證：M≥12.

證明：∵x∈［0，2］，|f(x)|的最大值是M，∴M≥|f(0)|=|q|，2M≥2|f(1)|=

|-2p-2q-2|，M≥|f(2)|=|2p+q+4|，以上三式相加得到4M≥|q|+|-2p-2q-

2|+|2p+q+4|≥|q+(-2p-2q-2)+(2p+q+4)|=2，所以M≥12.

二、函數(shù)與單調(diào)性

例4 (第十四屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽試題改編)已知函數(shù)f(x)=|x2-ax-a|在區(qū)間［0，1］上遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

解：設(shè)g(x)=x2-ax-a，則g(x)=(x-a2)2-a24-a.①當-4≤a≤0時，g(x)>0，所以f(x)=g(x)，而f(x)在區(qū)間［0，1］上遞增，故a2≤0，即-4≤a≤0.②當a>0或a<-4時，設(shè)方程f(x)=0的兩根為x1，x2，且x1

三、函數(shù)與方程

以函數(shù)f(x)=|ax2+bx+c|的圖像為載體考查方程的根分布問題，是近幾年高考數(shù)學試題的一個新的亮點，解答這類問題需要滲透方程的思想、變量代換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要數(shù)學思想方法，把學生的知識運用能力及其數(shù)學轉(zhuǎn)化能力考查得淋漓盡致.

例5 (2006年湖北省高考數(shù)學試題)關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，給出下列四個命題：①存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根；③存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根.其中假命題的個數(shù)是().

A.0 B.1 C.2 D.3

解：令t=|x2-1|，則方程可化為k=t-t2，分別作出函數(shù)t=|x2-1|和k=t-t2的圖像.①當k=14時，方程k=t-t2有唯一解t=12，結(jié)合t=|x2-1|的圖像知方程恰好有4個解；②當01，此時方程恰好有2個不同的解.所以4個命題都正確，故選A.

點評：這是一道函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題.把方程的根分布問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|ax2+bx+c|的圖像與二次函數(shù)的圖像問題來解決.

四、函數(shù)與不等式

以函數(shù)f(x)=|ax2+bx+c|為載體考查不等式的有關(guān)問題，由于函數(shù)、絕對值與不等式的巧妙結(jié)合，極富思考性和挑戰(zhàn)性，是考查學生數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)的極好素材，但學生對此問題往往“望題興嘆”.

例6 (1996年高考數(shù)學試題改編)已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=|ax2+bx+c|，g(x)=ax+b，當x∈［-1，1］時，f(x)≤1.證明：當x∈［-1，1］時，|g(x)|≤2.

證明：設(shè)函數(shù)h(x)=ax2+bx+c，則當x∈［-1，1］時，|h(x)|≤1，所以h(0)=c

h(1)=a+b+c

h(-1)=a-b+c

a=h(1)+h(-1)2-h(0)，

b=h(1)-h(-1)2，

c=h(0)，故|g(x)|=|h(1)+h(-1)-2h(0)2x+h(1)-h(-1)2|=|h(1)x+12+h(-1)x-12-h(0)x|≤

|h(1)x+12|+|h(-1)x-12|+|h(0)x|

=|h(1)|#8226;|x+12|+|h(-1)|#8226;x-12|+|h(0)|#8226;|x|≤x+12+1-x2+|x|=1+|x|≤2.