從０８年高考看含參不等式恒成立問題

含參不等式恒成立問題是高考、競賽中的熱點問題.這樣的題目一般綜合性強，可考查函數、數列、不等式及導數等諸多方面的知識.同時，可培養學生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力.本文結合08高考，談談這類習題的一般求解策略.

解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.解決的主要途徑是將含參數不等式的恒成立問題根據其不等式的結構特征，恰當地構造函數，等價轉化為含參函數的最值討論.一般地，若函數f(x)的定義域為D，則當x∈D時，有f(x)≥M恒成立fmin(x)≥M；f(x)≤M恒成立fmin(x)≤M.

例1 (08上海試題)已知函數f(x)=2x-12|x|.

(1)若f(x)=2，求x的值；

(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈［1，2］恒成立，求實數m的取值范圍.

分析：利用變量分離法，將參數m與未知數t分離出來，得到m>g(t)(mgmax(t)(m

解：(1)當x<0時，f(x)=0;當x>0時，f(x)=2x-12x，由條件可知2x-12x=2，解得2x=1±2，∵2x>0.∴x=log2(1+2).

(2)當t∈［1，2］時，2t(22t-122t)+m(2t-12t)≥0，即m(22t-1)≥-(24t-1)，∵22t-1>0，∴m≥-(22t+1)，∵t∈［1，2］，∴-(1+22t)∈［-17，-5］，故m的取值范圍是［-5，+∞).

例2 (08天津試題)已知函數f(x)=x+ax+b(b≠0)，其中a，b∈R.

(1)若曲線y=f(x)在點P(2，f(2))處的切線方程為y=3x+1，求函數f(x)的解析式；

(2)討論函數f(x)的單調性；

(3)若對于任意的a∈［12，2］，不等式f(x)≤10在［14，1］上恒成立，求b的取值范圍.

分析：要使f(x)≤10恒成立，只要滿足fmax(x)≤10恒成立.在第(2)問中已將f(x)的單調區間求出，所以在第(3)問中f(x)的最大值必產生在f(14)與f(1)中，所以只要滿足f(14)≤10，f(1)≤10即可.

解：(1)f′(x)=1-ax2，由導數的幾何意義得f′(2)=3，于是a=-8.由切點P(2，f(2))在直線y=3x+1上，可得-2+b=7，解得b=9.所以函數f(x)的解析式為f(x)=x-8x+9.

(2)f′(x)=1-ax2.當a≤0時，顯然f′(x)>0(x≠0).這時f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)內是增函數.當a>0時，令f′(x)=0，解得x=±a.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(-∞，-a)-a(-a，0)(0，a)a(a，+∞)f′(x)+0--0+f(x)極大值極小值所以f(x)在(-∞，-a)，(a，+∞)內是增函數，在(-a，0)，(0，a)內是減函數.

(3)由(2)知，f(x)在［14，1］上的最大值為f(14)與f(1)中的較大者，對于任意的a∈［12，2］，不等式f(x)≤10在［14，1］上恒成立，當且僅當f(14)≤10，

f(1)≤10，即b≤394-4a，

b≤9-a，對任意的a∈［12，2］成立.從而得b≤74，所以滿足條件的b的取值范圍是(-∞，74］.

例3 (08山東試題)已知函數f(x)=1(1-x)n+aln(x-1)，其中n∈N*，a為常數.

(1)當n=2時，求函數f(x)的極值；

(2)當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，有f(x)≤x-1.

分析：利用轉化的思想，即一般地，有f(x)≥g(x)恒成立令F(x)=f(x)-g(x)，F(x)min≥0成立；f(x)≤g(x)恒成立令F(x)=f(x)-g(x)，F(x)min≤0成立.在本題中，要證f(x)≤x-1，只要證g(x)=x-1-f(x)≤0恒成立，即gmin(x)≤0成立.

解：(1)由已知得函數f(x)的定義域為{x|x>1}，當n=2時，f(x)=1(1-x)2+aln(x-1)，所以f′(x)=2-a(1-x)2(1-x)3.

(i)當a>0時，由f′(x)=0得x1=1+2a>1，x2=1-2a<1，此時f′(x)=-a(x-x1)(x-x2)(1-x)3.當x∈(1，x1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(x1，+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增.

(ii)當a≤0時，f′(x)<0恒成立，所以f(x)無極值.

綜上所述，n=2時，當a>0時，f(x)在x=1+2a處取得極小值，極小值為f(1+a2)=a2(1+ln2a).當a≤0時，f(x)無極值.

證(2)：因為a=1，所以f(x)=1(1-x)n+ln(x-1).當n為偶數時，令g(x)=x-1-1(1-x)n-ln(x-1)，則g′(x)=1+n(x-1)n+1-1x-1=x-2x-1+n(x-1)n+1>0，(x≥2).所以當x∈［2，+∞)時，g(x)單調遞增，又g(2)=0，因此g(x)=x-1-1(x-1)n-ln(x-1)≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.當n為奇數時，要證f(x)≤x-1，由于1(1-x)n<0，所以只需證ln(x-1)≤x-1，令h(x)=x-1-ln(x-1)，則h′(x)=1-1x-1=x-2x-1≥0(x≥2)，所以當x≥2時，h(x)=x-1-ln(x-1)單調遞增，又h(2)=1>0，所以當x≥2時，恒有h(x)>0，即ln(x-1)

綜上所述，結論成立.即f(x)≤x-1.

在高考中，等價轉化思想無處不見，特別是對于綜合性較強的問題時，我們要具體問題具體分析，不斷培養和訓練自覺的轉化意識，由此將有利于強化解決數學 問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.