從０８年高考看含參不等式恒成立問題

含參不等式恒成立問題是高考、競賽中的熱點(diǎn)問題.這樣的題目一般綜合性強(qiáng)，可考查函數(shù)、數(shù)列、不等式及導(dǎo)數(shù)等諸多方面的知識.同時(shí)，可培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力.本文結(jié)合08高考，談?wù)勥@類習(xí)題的一般求解策略.

解決這類問題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題.解決的主要途徑是將含參數(shù)不等式的恒成立問題根據(jù)其不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值討論.一般地，若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立fmin(x)≥M；f(x)≤M恒成立fmin(x)≤M.

例1 (08上海試題)已知函數(shù)f(x)=2x-12|x|.

(1)若f(x)=2，求x的值；

(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈［1，2］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：利用變量分離法，將參數(shù)m與未知數(shù)t分離出來，得到m>g(t)(mgmax(t)(m

解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=0;當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x-12x，由條件可知2x-12x=2，解得2x=1±2，∵2x>0.∴x=log2(1+2).

(2)當(dāng)t∈［1，2］時(shí)，2t(22t-122t)+m(2t-12t)≥0，即m(22t-1)≥-(24t-1)，∵22t-1>0，∴m≥-(22t+1)，∵t∈［1，2］，∴-(1+22t)∈［-17，-5］，故m的取值范圍是［-5，+∞).

例2 (08天津試題)已知函數(shù)f(x)=x+ax+b(b≠0)，其中a，b∈R.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2，f(2))處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)若對于任意的a∈［12，2］，不等式f(x)≤10在［14，1］上恒成立，求b的取值范圍.

分析：要使f(x)≤10恒成立，只要滿足fmax(x)≤10恒成立.在第(2)問中已將f(x)的單調(diào)區(qū)間求出，所以在第(3)問中f(x)的最大值必產(chǎn)生在f(14)與f(1)中，所以只要滿足f(14)≤10，f(1)≤10即可.

解：(1)f′(x)=1-ax2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)=3，于是a=-8.由切點(diǎn)P(2，f(2))在直線y=3x+1上，可得-2+b=7，解得b=9.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x-8x+9.

(2)f′(x)=1-ax2.當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f′(x)>0(x≠0).這時(shí)f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù).當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)=0，解得x=±a.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(-∞，-a)-a(-a，0)(0，a)a(a，+∞)f′(x)+0--0+f(x)極大值極小值所以f(x)在(-∞，-a)，(a，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-a，0)，(0，a)內(nèi)是減函數(shù).

(3)由(2)知，f(x)在［14，1］上的最大值為f(14)與f(1)中的較大者，對于任意的a∈［12，2］，不等式f(x)≤10在［14，1］上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(14)≤10，

f(1)≤10，即b≤394-4a，

b≤9-a，對任意的a∈［12，2］成立.從而得b≤74，所以滿足條件的b的取值范圍是(-∞，74］.

例3 (08山東試題)已知函數(shù)f(x)=1(1-x)n+aln(x-1)，其中n∈N*，a為常數(shù).

(1)當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f(x)≤x-1.

分析：利用轉(zhuǎn)化的思想，即一般地，有f(x)≥g(x)恒成立令F(x)=f(x)-g(x)，F(x)min≥0成立；f(x)≤g(x)恒成立令F(x)=f(x)-g(x)，F(xiàn)(x)min≤0成立.在本題中，要證f(x)≤x-1，只要證g(x)=x-1-f(x)≤0恒成立，即gmin(x)≤0成立.

解：(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1}，當(dāng)n=2時(shí)，f(x)=1(1-x)2+aln(x-1)，所以f′(x)=2-a(1-x)2(1-x)3.

(i)當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=0得x1=1+2a>1，x2=1-2a<1，此時(shí)f′(x)=-a(x-x1)(x-x2)(1-x)3.當(dāng)x∈(1，x1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x1，+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0恒成立，所以f(x)無極值.

綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x=1+2a處取得極小值，極小值為f(1+a2)=a2(1+ln2a).當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無極值.

證(2)：因?yàn)閍=1，所以f(x)=1(1-x)n+ln(x-1).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令g(x)=x-1-1(1-x)n-ln(x-1)，則g′(x)=1+n(x-1)n+1-1x-1=x-2x-1+n(x-1)n+1>0，(x≥2).所以當(dāng)x∈［2，+∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0，因此g(x)=x-1-1(x-1)n-ln(x-1)≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證f(x)≤x-1，由于1(1-x)n<0，所以只需證ln(x-1)≤x-1，令h(x)=x-1-ln(x-1)，則h′(x)=1-1x-1=x-2x-1≥0(x≥2)，所以當(dāng)x≥2時(shí)，h(x)=x-1-ln(x-1)單調(diào)遞增，又h(2)=1>0，所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h(x)>0，即ln(x-1)

綜上所述，結(jié)論成立.即f(x)≤x-1.

在高考中，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，特別是對于綜合性較強(qiáng)的問題時(shí)，我們要具體問題具體分析，不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，由此將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué) 問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.