縱觀近年高考數學試題,客觀題的最后一題可謂推陳出新、精彩紛呈,許多題目都是立足課改理念,以全新的視角、創新的手法進行巧妙構思.它們以問題為中心、知識為紐帶,各種數學思想方法縱橫交錯,凸顯能力立意,從多角度、多層次檢測學生的思維水平和數學素養.2008年高考浙江理科卷第17題就是這樣的一個例子,以下是對該題的賞析與探究,希望能對讀者有所啟發和幫助.
1.問題呈現
若a≥0,b≥0且當x≥0,
y≥0,
x+y≤1時,恒有ax+by≤1,則以a,b為坐標的點P(a,b)所形成的平面區域的面積等于 .
賞析:本題以線性規劃為知識基礎、恒成立問題為中間紐帶、求區域面積為問題核心,蘊含化歸與轉化、分類與整合、數形結合等數學思想.試題貌似簡單,其實不然,是一道立足雙基、設計新穎、立意深遠的試題.它著重考查學生思維的靈活性、多樣性,以及綜合運用知識分析、解決問題的能力.在填空題的最后一題設計如此有“思”有味的試題,給學生充分展示自我提供了廣闊的思維空間和自由度.
2.解法探究
解答本題要求學生善于從命題意圖的角度提取、挖掘有效信息,并將其合理轉化,從而開啟成功之門.其一是將不等式恒成立問題轉化成函數最值問題;其二是將區域面積問題轉化成字母取值范圍問題.解題的切入點是緊扣已知條件“ax+by≤1恒成立”,落腳點是確定a,b的取值范圍.
解法一:目標函數法
設目標函數z=ax+by,當ab=0時,zmax=a或b,故只需a≤1或b≤1.當ab≠0時,令z=0,則y=-abx,由x、y的約束條件作出可行域(如圖1),若-ab>-1,則z在A點取得最大值,zmax=b≤1;若-ab<-1,則z在B點取得最大值,zmax=a≤1;若-ab=-1,則zmax=b≤1.
綜上0≤a≤1,
0≤b≤1,故所求區域面積s=1.
點評:根據目標函數的幾何性質,通過數形結合尋找最優解,是解決線性規劃最值問題的常規方法.但本題的目標函數含有兩個參數a、b,需分類討論確定函數最值,有一定的難度,要求學生具有嚴謹的數學思維及較強的分析問題的能力,方可準確求出a,b的取值范圍.
解法二:解析法
如圖1,畫出點M(x,y)的可行域.因為ax+by≤1恒成立,即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立,則1a≥1且1b≥1,否則可行域中總會存在不滿足題意的點.故0≤a≤1,
0≤b≤1,點P(a,b)所形成的平面區域為邊長1的正方形,其面積s=1.
點評:解析法是處理線性規劃問題最為常用、有效的方法,在坐標軸上兩個截距1a、1b的構造,巧妙地將可行域與恒成立問題統一起來,從而使問題得以順利解決,截距的構造是解題的關鍵.
解法三:三角換元法
設0≤x≤cos2θ,0≤y≤sin2θ,則ax+by≤acos2θ+bsin2θ=acos2θ+b(1-cos2θ)=(a-b)cos2θ+b≤a-b+b=a≤1.同理可得ax+by≤acos2θ+bsin2θ=a(1-sin2θ)+bsin2θ=(b-a)sin2θ+a≤b-a+a=b≤1.所以0≤a≤1,
0≤b≤1,即點P(a,b)所形成的平面區域為邊長1的正方形,其面積s=1.
點評:試題的難點在于變量太多,通過三角代換,減少了變量元,同時借助三角函數的有界性,巧妙地確定出點P所形成的平面區域.
解法四:向量法
設向量OM=(a,b),ON=(x,y),則ax+by=OM#8226;ON=a2+b2#8226;|ON|#8226;cosθ(θ為兩向量的夾角),當向量ON在OM上的投影|ON|cosθ最大時,ax+by取最大值.由x、y的約束條件作出可行域(如圖2).若ba<1,當點N為可行域內的點B時,|ON|cosθ最大,此時x=1,y=0,(ax+by)max=a;若ba>1,當點N為可行域內的點A時,|ON|cosθ最大,此時x=0,y=1,(ax+by)max=b;若ba=1,(ax+by)max=a或b.
綜上0≤a≤1,
0≤b≤1,故所求區域面積s=1.
點評:在沒有向量暗示的情境下,將ax+by看作是兩向量的數量積,是創新意識誘導下的一種獨特的數學視角.解法二充分運用向量數量積的代數與幾何特征,借助向量數量積的幾何意義,巧妙地將求目標函數最值的代數問題轉化為幾何問題,很好地展示了向量在解決數學問題中的重要工具作用.
一般地,對于線性規劃問題中求目標函數ax+by的最值,可以考慮運用向量數量積的幾何意義求解.
解法五:柯西不等式法
由柯西不等式得:ax+by≤(a2+b2)(x2+y2),當且僅當ay=bx時,“=”成立.由圖1可知,x2+y2≤1,當且僅當x=1,y=0或x=0,y=1時,“=”成立.
故ax+by≤(a2+b2)(x2+y2)≤a2+b2,當且僅當ay=bx
x2+y2=1時,兩個“=”同時成立,于是,當x=1,y=0時,b=0,此時(ax+by)max=a;當x=0,y=1時,此時(ax+by)max=b.
綜上0≤a≤1,
0≤b≤1,故所求區域面積s=1.
點評:用柯西不等式解決ax+by的最值問題是一種新思路、新方法.柯西不等式歷史悠久,形式優美,結構巧妙,是研究最值問題的有力工具.隨著課改的春風,它已從 高等數學“下放”到中學數學.柯西不等式的應用靈活多樣、技巧性強,它的應用有利于學生開闊數學視野、培養創新思維,激發進一步學習數學的興趣.
解法六:構造法
構造直線l:ax+by=0,設可行域內的點到直線l的距離為d,因為a,b,x,y∈R*,所以d=|ax+by|a2+b2=
ax+bya2+b2,即ax+by=d#8226;a2+b2≤1恒成立.如圖3,點A(0,1)、B(1,0)到直線l的距離分別為d1=ba2+b2,d2=aa2+b2,則d1#8226;a2+b2=b≤1,d2#8226;a2+b2=a≤1,所以0≤a≤1,
0≤b≤1,即點P(a,b)所形成的平面區域為邊長1的正方形,其面積s=1.
點評:通過構造直線l,確定了ax+by的幾何意義,從而將問題回歸到線性規劃最基本的模型.構造思想在數學解題中的運用,會誘發很多巧思妙想,令人耳目一新,對提高分析、解決問題的能力是非常有益的.
上述解法的思維角度各不相同,路徑有異,解答過程用到的知識與技能各具特色,但殊途同歸.在數學教學中,引導學生對具有挑戰性的問題進行一題多解、多元探究,是啟迪思維、開闊眼界、提升能力的有效方式.