縱觀近年高考數(shù)學(xué)試題,客觀題的最后一題可謂推陳出新、精彩紛呈,許多題目都是立足課改理念,以全新的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行巧妙構(gòu)思.它們以問(wèn)題為中心、知識(shí)為紐帶,各種數(shù)學(xué)思想方法縱橫交錯(cuò),凸顯能力立意,從多角度、多層次檢測(cè)學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).2008年高考浙江理科卷第17題就是這樣的一個(gè)例子,以下是對(duì)該題的賞析與探究,希望能對(duì)讀者有所啟發(fā)和幫助.
1.問(wèn)題呈現(xiàn)
若a≥0,b≥0且當(dāng)x≥0,
y≥0,
x+y≤1時(shí),恒有ax+by≤1,則以a,b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于 .
賞析:本題以線性規(guī)劃為知識(shí)基礎(chǔ)、恒成立問(wèn)題為中間紐帶、求區(qū)域面積為問(wèn)題核心,蘊(yùn)含化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.試題貌似簡(jiǎn)單,其實(shí)不然,是一道立足雙基、設(shè)計(jì)新穎、立意深遠(yuǎn)的試題.它著重考查學(xué)生思維的靈活性、多樣性,以及綜合運(yùn)用知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.在填空題的最后一題設(shè)計(jì)如此有“思”有味的試題,給學(xué)生充分展示自我提供了廣闊的思維空間和自由度.
2.解法探究
解答本題要求學(xué)生善于從命題意圖的角度提取、挖掘有效信息,并將其合理轉(zhuǎn)化,從而開(kāi)啟成功之門.其一是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題;其二是將區(qū)域面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成字母取值范圍問(wèn)題.解題的切入點(diǎn)是緊扣已知條件“ax+by≤1恒成立”,落腳點(diǎn)是確定a,b的取值范圍.
解法一:目標(biāo)函數(shù)法
設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by,當(dāng)ab=0時(shí),zmax=a或b,故只需a≤1或b≤1.當(dāng)ab≠0時(shí),令z=0,則y=-abx,由x、y的約束條件作出可行域(如圖1),若-ab>-1,則z在A點(diǎn)取得最大值,zmax=b≤1;若-ab<-1,則z在B點(diǎn)取得最大值,zmax=a≤1;若-ab=-1,則zmax=b≤1.
綜上0≤a≤1,
0≤b≤1,故所求區(qū)域面積s=1.
點(diǎn)評(píng):根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何性質(zhì),通過(guò)數(shù)形結(jié)合尋找最優(yōu)解,是解決線性規(guī)劃最值問(wèn)題的常規(guī)方法.但本題的目標(biāo)函數(shù)含有兩個(gè)參數(shù)a、b,需分類討論確定函數(shù)最值,有一定的難度,要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維及較強(qiáng)的分析問(wèn)題的能力,方可準(zhǔn)確求出a,b的取值范圍.
解法二:解析法
如圖1,畫出點(diǎn)M(x,y)的可行域.因?yàn)閍x+by≤1恒成立,即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立,則1a≥1且1b≥1,否則可行域中總會(huì)存在不滿足題意的點(diǎn).故0≤a≤1,
0≤b≤1,點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)1的正方形,其面積s=1.
點(diǎn)評(píng):解析法是處理線性規(guī)劃問(wèn)題最為常用、有效的方法,在坐標(biāo)軸上兩個(gè)截距1a、1b的構(gòu)造,巧妙地將可行域與恒成立問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái),從而使問(wèn)題得以順利解決,截距的構(gòu)造是解題的關(guān)鍵.
解法三:三角換元法
設(shè)0≤x≤cos2θ,0≤y≤sin2θ,則ax+by≤acos2θ+bsin2θ=acos2θ+b(1-cos2θ)=(a-b)cos2θ+b≤a-b+b=a≤1.同理可得ax+by≤acos2θ+bsin2θ=a(1-sin2θ)+bsin2θ=(b-a)sin2θ+a≤b-a+a=b≤1.所以0≤a≤1,
0≤b≤1,即點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)1的正方形,其面積s=1.
點(diǎn)評(píng):試題的難點(diǎn)在于變量太多,通過(guò)三角代換,減少了變量元,同時(shí)借助三角函數(shù)的有界性,巧妙地確定出點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域.
解法四:向量法
設(shè)向量OM=(a,b),ON=(x,y),則ax+by=OM#8226;ON=a2+b2#8226;|ON|#8226;cosθ(θ為兩向量的夾角),當(dāng)向量ON在OM上的投影|ON|cosθ最大時(shí),ax+by取最大值.由x、y的約束條件作出可行域(如圖2).若ba<1,當(dāng)點(diǎn)N為可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí),|ON|cosθ最大,此時(shí)x=1,y=0,(ax+by)max=a;若ba>1,當(dāng)點(diǎn)N為可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí),|ON|cosθ最大,此時(shí)x=0,y=1,(ax+by)max=b;若ba=1,(ax+by)max=a或b.
綜上0≤a≤1,
0≤b≤1,故所求區(qū)域面積s=1.
點(diǎn)評(píng):在沒(méi)有向量暗示的情境下,將ax+by看作是兩向量的數(shù)量積,是創(chuàng)新意識(shí)誘導(dǎo)下的一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)視角.解法二充分運(yùn)用向量數(shù)量積的代數(shù)與幾何特征,借助向量數(shù)量積的幾何意義,巧妙地將求目標(biāo)函數(shù)最值的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,很好地展示了向量在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要工具作用.
一般地,對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題中求目標(biāo)函數(shù)ax+by的最值,可以考慮運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義求解.
解法五:柯西不等式法
由柯西不等式得:ax+by≤(a2+b2)(x2+y2),當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí),“=”成立.由圖1可知,x2+y2≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=0或x=0,y=1時(shí),“=”成立.
故ax+by≤(a2+b2)(x2+y2)≤a2+b2,當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx
x2+y2=1時(shí),兩個(gè)“=”同時(shí)成立,于是,當(dāng)x=1,y=0時(shí),b=0,此時(shí)(ax+by)max=a;當(dāng)x=0,y=1時(shí),此時(shí)(ax+by)max=b.
綜上0≤a≤1,
0≤b≤1,故所求區(qū)域面積s=1.
點(diǎn)評(píng):用柯西不等式解決ax+by的最值問(wèn)題是一種新思路、新方法.柯西不等式歷史悠久,形式優(yōu)美,結(jié)構(gòu)巧妙,是研究最值問(wèn)題的有力工具.隨著課改的春風(fēng),它已從 高等數(shù)學(xué)“下放”到中學(xué)數(shù)學(xué).柯西不等式的應(yīng)用靈活多樣、技巧性強(qiáng),它的應(yīng)用有利于學(xué)生開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野、培養(yǎng)創(chuàng)新思維,激發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
解法六:構(gòu)造法
構(gòu)造直線l:ax+by=0,設(shè)可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線l的距離為d,因?yàn)閍,b,x,y∈R*,所以d=|ax+by|a2+b2=
ax+bya2+b2,即ax+by=d#8226;a2+b2≤1恒成立.如圖3,點(diǎn)A(0,1)、B(1,0)到直線l的距離分別為d1=ba2+b2,d2=aa2+b2,則d1#8226;a2+b2=b≤1,d2#8226;a2+b2=a≤1,所以0≤a≤1,
0≤b≤1,即點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)1的正方形,其面積s=1.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)構(gòu)造直線l,確定了ax+by的幾何意義,從而將問(wèn)題回歸到線性規(guī)劃最基本的模型.構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用,會(huì)誘發(fā)很多巧思妙想,令人耳目一新,對(duì)提高分析、解決問(wèn)題的能力是非常有益的.
上述解法的思維角度各不相同,路徑有異,解答過(guò)程用到的知識(shí)與技能各具特色,但殊途同歸.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題進(jìn)行一題多解、多元探究,是啟迪思維、開(kāi)闊眼界、提升能力的有效方式.