一道高考填空題的解法探究

縱觀近年高考數學試題，客觀題的最后一題可謂推陳出新、精彩紛呈，許多題目都是立足課改理念，以全新的視角、創新的手法進行巧妙構思.它們以問題為中心、知識為紐帶，各種數學思想方法縱橫交錯，凸顯能力立意，從多角度、多層次檢測學生的思維水平和數學素養.2008年高考浙江理科卷第17題就是這樣的一個例子，以下是對該題的賞析與探究，希望能對讀者有所啟發和幫助.

1.問題呈現

若a≥0，b≥0且當x≥0，

y≥0，

x+y≤1時，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標的點P(a，b)所形成的平面區域的面積等于 .

賞析：本題以線性規劃為知識基礎、恒成立問題為中間紐帶、求區域面積為問題核心，蘊含化歸與轉化、分類與整合、數形結合等數學思想.試題貌似簡單，其實不然，是一道立足雙基、設計新穎、立意深遠的試題.它著重考查學生思維的靈活性、多樣性，以及綜合運用知識分析、解決問題的能力.在填空題的最后一題設計如此有“思”有味的試題，給學生充分展示自我提供了廣闊的思維空間和自由度.

2.解法探究

解答本題要求學生善于從命題意圖的角度提取、挖掘有效信息，并將其合理轉化，從而開啟成功之門.其一是將不等式恒成立問題轉化成函數最值問題；其二是將區域面積問題轉化成字母取值范圍問題.解題的切入點是緊扣已知條件“ax+by≤1恒成立”，落腳點是確定a，b的取值范圍.

解法一：目標函數法

設目標函數z=ax+by，當ab=0時，zmax=a或b，故只需a≤1或b≤1.當ab≠0時，令z=0，則y=-abx，由x、y的約束條件作出可行域(如圖1)，若-ab>-1，則z在A點取得最大值，zmax=b≤1；若-ab<-1，則z在B點取得最大值，zmax=a≤1；若-ab=-1，則zmax=b≤1.

綜上0≤a≤1，

0≤b≤1，故所求區域面積s=1.

點評：根據目標函數的幾何性質，通過數形結合尋找最優解，是解決線性規劃最值問題的常規方法.但本題的目標函數含有兩個參數a、b，需分類討論確定函數最值，有一定的難度，要求學生具有嚴謹的數學思維及較強的分析問題的能力，方可準確求出a，b的取值范圍.

解法二：解析法

如圖1，畫出點M(x，y)的可行域.因為ax+by≤1恒成立，即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立，則1a≥1且1b≥1，否則可行域中總會存在不滿足題意的點.故0≤a≤1，

0≤b≤1，點P(a，b)所形成的平面區域為邊長1的正方形，其面積s=1.

點評：解析法是處理線性規劃問題最為常用、有效的方法，在坐標軸上兩個截距1a、1b的構造，巧妙地將可行域與恒成立問題統一起來，從而使問題得以順利解決，截距的構造是解題的關鍵.

解法三：三角換元法

設0≤x≤cos2θ，0≤y≤sin2θ，則ax+by≤acos2θ+bsin2θ=acos2θ+b(1-cos2θ)=(a-b)cos2θ+b≤a-b+b=a≤1.同理可得ax+by≤acos2θ+bsin2θ=a(1-sin2θ)+bsin2θ=(b-a)sin2θ+a≤b-a+a=b≤1.所以0≤a≤1，

0≤b≤1，即點P(a，b)所形成的平面區域為邊長1的正方形，其面積s=1.

點評：試題的難點在于變量太多，通過三角代換，減少了變量元，同時借助三角函數的有界性，巧妙地確定出點P所形成的平面區域.

解法四：向量法

設向量OM=(a，b)，ON=(x，y)，則ax+by=OM#8226;ON=a2+b2#8226;|ON|#8226;cosθ(θ為兩向量的夾角)，當向量ON在OM上的投影|ON|cosθ最大時，ax+by取最大值.由x、y的約束條件作出可行域(如圖2).若ba<1，當點N為可行域內的點B時，|ON|cosθ最大，此時x=1，y=0，(ax+by)max=a；若ba>1，當點N為可行域內的點A時，|ON|cosθ最大，此時x=0，y=1，(ax+by)max=b；若ba=1，(ax+by)max=a或b.

綜上0≤a≤1，

0≤b≤1，故所求區域面積s=1.

點評：在沒有向量暗示的情境下，將ax+by看作是兩向量的數量積，是創新意識誘導下的一種獨特的數學視角.解法二充分運用向量數量積的代數與幾何特征，借助向量數量積的幾何意義，巧妙地將求目標函數最值的代數問題轉化為幾何問題，很好地展示了向量在解決數學問題中的重要工具作用.

一般地，對于線性規劃問題中求目標函數ax+by的最值，可以考慮運用向量數量積的幾何意義求解.

解法五：柯西不等式法

由柯西不等式得：ax+by≤(a2+b2)(x2+y2)，當且僅當ay=bx時，“=”成立.由圖1可知，x2+y2≤1，當且僅當x=1，y=0或x=0，y=1時，“=”成立.

故ax+by≤(a2+b2)(x2+y2)≤a2+b2，當且僅當ay=bx

x2+y2=1時，兩個“=”同時成立，于是，當x=1，y=0時，b=0，此時(ax+by)max=a；當x=0，y=1時，此時(ax+by)max=b.

綜上0≤a≤1，

0≤b≤1，故所求區域面積s=1.

點評：用柯西不等式解決ax+by的最值問題是一種新思路、新方法.柯西不等式歷史悠久，形式優美，結構巧妙，是研究最值問題的有力工具.隨著課改的春風，它已從 高等數學“下放”到中學數學.柯西不等式的應用靈活多樣、技巧性強，它的應用有利于學生開闊數學視野、培養創新思維，激發進一步學習數學的興趣.

解法六：構造法

構造直線l:ax+by=0，設可行域內的點到直線l的距離為d，因為a，b，x，y∈R*，所以d=|ax+by|a2+b2=

ax+bya2+b2，即ax+by=d#8226;a2+b2≤1恒成立.如圖3，點A(0，1)、B(1，0)到直線l的距離分別為d1=ba2+b2，d2=aa2+b2，則d1#8226;a2+b2=b≤1，d2#8226;a2+b2=a≤1，所以0≤a≤1，

0≤b≤1，即點P(a，b)所形成的平面區域為邊長1的正方形，其面積s=1.

點評：通過構造直線l，確定了ax+by的幾何意義，從而將問題回歸到線性規劃最基本的模型.構造思想在數學解題中的運用，會誘發很多巧思妙想，令人耳目一新，對提高分析、解決問題的能力是非常有益的.

上述解法的思維角度各不相同，路徑有異，解答過程用到的知識與技能各具特色，但殊途同歸.在數學教學中，引導學生對具有挑戰性的問題進行一題多解、多元探究，是啟迪思維、開闊眼界、提升能力的有效方式.