一道高考填空題的解法探究

縱觀近年高考數(shù)學(xué)試題，客觀題的最后一題可謂推陳出新、精彩紛呈，許多題目都是立足課改理念，以全新的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行巧妙構(gòu)思.它們以問(wèn)題為中心、知識(shí)為紐帶，各種數(shù)學(xué)思想方法縱橫交錯(cuò)，凸顯能力立意，從多角度、多層次檢測(cè)學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).2008年高考浙江理科卷第17題就是這樣的一個(gè)例子，以下是對(duì)該題的賞析與探究，希望能對(duì)讀者有所啟發(fā)和幫助.

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

若a≥0，b≥0且當(dāng)x≥0，

y≥0，

x+y≤1時(shí)，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域的面積等于 .

賞析：本題以線性規(guī)劃為知識(shí)基礎(chǔ)、恒成立問(wèn)題為中間紐帶、求區(qū)域面積為問(wèn)題核心，蘊(yùn)含化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.試題貌似簡(jiǎn)單，其實(shí)不然，是一道立足雙基、設(shè)計(jì)新穎、立意深遠(yuǎn)的試題.它著重考查學(xué)生思維的靈活性、多樣性，以及綜合運(yùn)用知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.在填空題的最后一題設(shè)計(jì)如此有“思”有味的試題，給學(xué)生充分展示自我提供了廣闊的思維空間和自由度.

2.解法探究

解答本題要求學(xué)生善于從命題意圖的角度提取、挖掘有效信息，并將其合理轉(zhuǎn)化，從而開(kāi)啟成功之門.其一是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題；其二是將區(qū)域面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成字母取值范圍問(wèn)題.解題的切入點(diǎn)是緊扣已知條件“ax+by≤1恒成立”，落腳點(diǎn)是確定a，b的取值范圍.

解法一：目標(biāo)函數(shù)法

設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by，當(dāng)ab=0時(shí)，zmax=a或b，故只需a≤1或b≤1.當(dāng)ab≠0時(shí)，令z=0，則y=-abx，由x、y的約束條件作出可行域(如圖1)，若-ab>-1，則z在A點(diǎn)取得最大值，zmax=b≤1；若-ab<-1，則z在B點(diǎn)取得最大值，zmax=a≤1；若-ab=-1，則zmax=b≤1.

綜上0≤a≤1，

0≤b≤1，故所求區(qū)域面積s=1.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何性質(zhì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合尋找最優(yōu)解，是解決線性規(guī)劃最值問(wèn)題的常規(guī)方法.但本題的目標(biāo)函數(shù)含有兩個(gè)參數(shù)a、b，需分類討論確定函數(shù)最值，有一定的難度，要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維及較強(qiáng)的分析問(wèn)題的能力，方可準(zhǔn)確求出a，b的取值范圍.

解法二：解析法

如圖1，畫出點(diǎn)M(x，y)的可行域.因?yàn)閍x+by≤1恒成立，即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立，則1a≥1且1b≥1，否則可行域中總會(huì)存在不滿足題意的點(diǎn).故0≤a≤1，

0≤b≤1，點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)1的正方形，其面積s=1.

點(diǎn)評(píng)：解析法是處理線性規(guī)劃問(wèn)題最為常用、有效的方法，在坐標(biāo)軸上兩個(gè)截距1a、1b的構(gòu)造，巧妙地將可行域與恒成立問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)，從而使問(wèn)題得以順利解決，截距的構(gòu)造是解題的關(guān)鍵.

解法三：三角換元法

設(shè)0≤x≤cos2θ，0≤y≤sin2θ，則ax+by≤acos2θ+bsin2θ=acos2θ+b(1-cos2θ)=(a-b)cos2θ+b≤a-b+b=a≤1.同理可得ax+by≤acos2θ+bsin2θ=a(1-sin2θ)+bsin2θ=(b-a)sin2θ+a≤b-a+a=b≤1.所以0≤a≤1，

0≤b≤1，即點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)1的正方形，其面積s=1.

點(diǎn)評(píng)：試題的難點(diǎn)在于變量太多，通過(guò)三角代換，減少了變量元，同時(shí)借助三角函數(shù)的有界性，巧妙地確定出點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域.

解法四：向量法

設(shè)向量OM=(a，b)，ON=(x，y)，則ax+by=OM#8226;ON=a2+b2#8226;|ON|#8226;cosθ(θ為兩向量的夾角)，當(dāng)向量ON在OM上的投影|ON|cosθ最大時(shí)，ax+by取最大值.由x、y的約束條件作出可行域(如圖2).若ba<1，當(dāng)點(diǎn)N為可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，|ON|cosθ最大，此時(shí)x=1，y=0，(ax+by)max=a；若ba>1，當(dāng)點(diǎn)N為可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，|ON|cosθ最大，此時(shí)x=0，y=1，(ax+by)max=b；若ba=1，(ax+by)max=a或b.

綜上0≤a≤1，

0≤b≤1，故所求區(qū)域面積s=1.

點(diǎn)評(píng)：在沒(méi)有向量暗示的情境下，將ax+by看作是兩向量的數(shù)量積，是創(chuàng)新意識(shí)誘導(dǎo)下的一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)視角.解法二充分運(yùn)用向量數(shù)量積的代數(shù)與幾何特征，借助向量數(shù)量積的幾何意義，巧妙地將求目標(biāo)函數(shù)最值的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，很好地展示了向量在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要工具作用.

一般地，對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題中求目標(biāo)函數(shù)ax+by的最值，可以考慮運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義求解.

解法五：柯西不等式法

由柯西不等式得：ax+by≤(a2+b2)(x2+y2)，當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)，“=”成立.由圖1可知，x2+y2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=0或x=0，y=1時(shí)，“=”成立.

故ax+by≤(a2+b2)(x2+y2)≤a2+b2，當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx

x2+y2=1時(shí)，兩個(gè)“=”同時(shí)成立，于是，當(dāng)x=1，y=0時(shí)，b=0，此時(shí)(ax+by)max=a；當(dāng)x=0，y=1時(shí)，此時(shí)(ax+by)max=b.

綜上0≤a≤1，

0≤b≤1，故所求區(qū)域面積s=1.

點(diǎn)評(píng)：用柯西不等式解決ax+by的最值問(wèn)題是一種新思路、新方法.柯西不等式歷史悠久，形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)巧妙，是研究最值問(wèn)題的有力工具.隨著課改的春風(fēng)，它已從 高等數(shù)學(xué)“下放”到中學(xué)數(shù)學(xué).柯西不等式的應(yīng)用靈活多樣、技巧性強(qiáng)，它的應(yīng)用有利于學(xué)生開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野、培養(yǎng)創(chuàng)新思維，激發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

解法六：構(gòu)造法

構(gòu)造直線l:ax+by=0，設(shè)可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線l的距離為d，因?yàn)閍，b，x，y∈R*，所以d=|ax+by|a2+b2=

ax+bya2+b2，即ax+by=d#8226;a2+b2≤1恒成立.如圖3，點(diǎn)A(0，1)、B(1，0)到直線l的距離分別為d1=ba2+b2，d2=aa2+b2，則d1#8226;a2+b2=b≤1，d2#8226;a2+b2=a≤1，所以0≤a≤1，

0≤b≤1，即點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)1的正方形，其面積s=1.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)構(gòu)造直線l，確定了ax+by的幾何意義，從而將問(wèn)題回歸到線性規(guī)劃最基本的模型.構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，會(huì)誘發(fā)很多巧思妙想，令人耳目一新，對(duì)提高分析、解決問(wèn)題的能力是非常有益的.

上述解法的思維角度各不相同，路徑有異，解答過(guò)程用到的知識(shí)與技能各具特色，但殊途同歸.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題進(jìn)行一題多解、多元探究，是啟迪思維、開(kāi)闊眼界、提升能力的有效方式.