論數學例、習題變式問題在課堂教學中的有效性

例、習題變式是數學課堂教學的一種重要形式，變式教學有利于學生思維的發展，幫助學生理解、鞏固教學內容.筆者通過近階段的聽課發現：越來越多的數學教師正嘗試著利用變式這一“法寶”進行教學，這種形式的教學使得數學課堂變得活潑而又精彩，其效果也十分明顯.但筆者在聽課的過程中也發現了“變式”教學中的一些不和諧.由此萌發了對數學例、習題變式問題有效性的探討與分析.

要想讓例、習題的變式問題為課堂教學創“收”，使變式的價值得以充分體現，變式問題的 設計必須克服以下幾個方面的缺陷.

1.教學中片面追求例、習題的變式形式，但變式目的不明，對變式時機、過程無法有效掌控.

2.對變式問題沒有預先準備，只是根據變式的一些方法、原則，隨意變換問題的條件、結論或通過簡單的類比，再根據已有的教學經驗作問題的變式，具有很強的隨意性.

3.例、習題變式問題的設計無法真正達成班級大部分學生民主參與的意向.

4.變式問題對學生的后續學習起不到示范作用.

5.不加思考，具有隨意性的變式設計，讓學生在學習的過程中獲得了非正式甚至是不嚴謹的學習體驗.

就如何設計有效的例、習題變式問題，本文提出如下觀點，供參考.

一、一個有效的數學例、習題變式問題應就其任務而言

1.變式后問題必須有明確的價值取向.變式的期望即對變式所達成的目標應該清晰，而不能是含混不清，它表達了教師改造例、習題的意愿.

例1 (人教版數學必修5：3.4基本不等式ab≤a+b2，練習1)x>0，當x取什么值時，x+1x的值最小，最小值是多少?

變式一 x>3，當x取什么值，x+1x-3的值最小，最小值是多少?

變式二 x<0，x+1x有無最值，如果有，是多少?

變式三 x≥2，x取什么值時，x+1x值最小，最小值是多少?

變式一是為了讓學生理解并熟悉基本不等式ab≤a+b2模型結構特征而設置的；變式二是為了讓學生體會基本不等式應用所必須具備的條件而設置的；變式三則是為了讓學生有目的地開展思辨活動，不被思維習慣束縛而設置的.以上三個變式問題的設計意圖明顯，能有效地落實教學目標.

2.變式問題的設計安排要適時、合理.變式問題是對教材理解的合理補充、拓展.適時、合理的例、習題變式問題能高效地幫助學生理解教材，反之變式的效果就會大打折扣.

例2 (人教版教學必修5：簡單的線性規劃問題3.3.2練習)求z=2x+y的最大值，使x，y滿足約束條件y≤x，

x+y≤1，

y≥-1.

變式一 改變約束條件5x+3y≤15，

y≤x+1，

x-5y≤3，不改變結論.

變式二 不改變約束條件，結論變為求z=2x-y的最大值?

變式一通過改變平面區域改變結論，而平面區域為上節課所學內容而非本節課的重點，因此變式所能達到的就是對舊知識的鞏固；變式二改變的是目標函數，通過目標函數的改變讓學生理解目標函數與可行域之間的聯系，獲得了理性的認識.由此可知變式二是必要而且有效的，而變式一卻是不適時宜的.

3.變式問題設計還必須具有目標本位，對目標的游離程度有必要進行掌控.對目標的游離程度指的是與原問題目標的相關程度.對目標的游離程度越大與原問題目標的相關性就越小，反之亦然.對目標的游離程度太小，學生做變式訓練時很容易依樣畫葫蘆，對學生的思維發展幫助不大，對目標的游離程度太大，則難以調控學習目標，因此在設計例、習題的變式問題時應調控好對目標的游離程度.

例3 在等腰直角△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM，CM與線段AB交于M點，求AM

變式一 不改變條件，結論變為求2AM>AC的概率.

變式二 等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上取一點M，求AM

對比上述兩個變式，我們發現變式一對目標的游離程度較低，學生很容易對比例題獲得結論，變式價值較低.變式二通過對條件的變換使基本事件發生了變化，引發學生的求異思維，變式也因此產生了探索的價值，變式二對目標游離程度的調控比較成功.

二、有效的例、習題變式問題應就其解決過程而言

1.具備可參與性：一個理想、有效的變式問題是離不開學生民主參與的，同時它也是課堂教學中各層次學生的現實需求.因此教師可以利用課本例、習題的變式來達到數學對每一個學生的平等.變式體現了“以人為本”的關懷取向，這是教科書無法達到的.按這樣的要求，如果能夠設計一系列由淺到深的變式題組，就更有利于目標的實現.

例4 (全日制普通高中教科書必修一：一元二次不等式解法)解不等式(x+4)(x-1)<0.

變式一 x-1x+4<0;

變式二 x-1x+4<1;

變式三 x-1x+4≥x;

變式四 x-1x+4

變式五 x-ax+a2<0(a∈R).

課堂上通過這一連串的變式，由淺入深，不僅有效地解決了解分式不等式過程中出現的難點 ，同時保證了各層次學生參與的需求.因此教師針對教材，設計出一系列由淺到深的例、習題變式問題，行之有效.

2.具備可探究性：一個有效的例、習題變式應當讓學生通過問題獲得參與的欲望，進而崩發出探究，探索的熱情.一個具備探究性的變式問題，會調動學生動手、動腦從而獲得充分的學習體驗.

例5 (人教版數學必修2：直線、圓位置關系4.2例2)已知過一點M(-3，-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為45，求直線l的方程?

變式 已知過一點M(-3，-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為8，求直線l的方程?

變式只是改變了直線l被圓所截得的弦長，如果不加以分析、探討，學生就會近似認為變式 是對所學知識的簡單重復；假如能動手探究的話，你會驚奇地發現，按例題的解題思路，滿足條件的直線就只有一條而遺漏了另一條，這樣的結論更容易引發學生對學習過程的反思與探究.變式使得學習過程更富有意義.

例6 (人教版數學必修2，函數的表示法1.2.2例6)某市“招手即?！惫财嚢聪铝械钠眱r規則制定：(1)5公里以內(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元，(不足5公里按5公里計算).

如果某條線路的總里程為20公里，請根據

題意寫出票價與里程之間的函數關系，并畫出圖像.

變式 (如何打的最省錢?)上海出租車計價方法：起步價10元可行3千米；3千米以后按一千米2元計價，可再行7千米；以后每千米按3元計價，途中停車每5分鐘按1千米計價?假設你學校到東方明珠共計65千米，如何打的更省錢?(忽略等車時間)

例題的變式改變了原問題單純的分段函數模型，與現實相結合，為學生提供了探索的空間且有很強的實用性，較大程度地激發了學生的參與欲望，學生通過變式學會了建立數學模型來解決實際問題的思維與方法.

三、一個有效的數學例、習題變式問題應就其效果而言

變式應具備一定的生成性：通過變式，學生解決的不僅僅是變式后問題的個體，而是能夠根 據問題解決的思路，變式的體驗，結論的類比等產生一系列新的問題，使得變式從問題的設計到結論的出現整個操作過程成為后續學習的示范.

例7 通過對例2目標函數與可行域關系的闡述及變式二的示范，學生獲得了目標函數生成的體驗，由此例舉出了求目標函數z=yx的最值，求z=x2+y2的最值，求z=y-2x-1的取值范圍等范例，達到了對線性規劃問題的有效拓展.

總之， 教師在設計課本例、習題變式問題時，必須精心準備，并努力對變式后的問題作評價、預測，杜絕隨意性，以提高教學效益，從而讓變式在教學中越來越有味道，越變越精彩.