與圓錐曲線焦點有關的一個性質

筆者借助超級畫板軟件，發現與圓錐曲線焦點有關的一個性質，現介紹如下：

定理1 如圖1，設F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點，M是直線l:x=a(或x=-a)上異于頂點A的任一點，線段FM交橢圓于點P，∠MFA的平分線交直線l于點Q，則PQ是橢圓在點P處的切線.

證明：不妨設F(-c，0)，直線l:x=a，M(a，t)，Q(a，t1)，P(x0，y0).易知t，t1，y0同號，由FQ平分∠MFA，得a+c(a+c)2+t2=t1t-t1，即t1=(a+c)t(a+c)2+t2+a+c①，又F，P，M共線，故y0x0+c=ta+c，即t=(a+c)y0x0+c②，將②代入①，化簡得t1=(a+c)y0(x0+c)2+y20+x0+c=(a+c)y0a+cax0+x0+c=ay0a+x0，于是直線PQ的斜率kPQ=ay0a+x0-y0a-x0=x0y0x20-a2，從而PQ的方程為y-y0=x0y0x20-a2#8226;(x-x0)，注意到b2x20+a2y20=a2b2，將PQ的方程化簡整理得x0xa2+y0yb2=1，此方程表明PQ是橢圓在點P處的切線.

定理2 如圖2-1(圖2-2)設F，A分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)在y軸同側(或異側)的焦點和頂點，M是雙曲線在頂點A處的切線l上異于頂點A的任一點，線段FM交雙曲線于點P，∠MFA(或其外角)的平分線交切線l于點Q，則PQ是雙曲線在點P處的切線.

定理3 如圖3，設F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，M是y軸上異于頂點O的任一點，線段FM交拋物線于點P，∠MFO的平分線交y軸于點Q，則PQ是拋物線在點P處的切線.

定理2，定理3類似于定理1的證明可證，此處從略.