定位三角恒等變形的變形方向

解三角題離不開對三角式的變換，但由于三角公式的靈活多變，使得三角變形具有多樣性和盲目性，甚至部分學生不知道究竟要用什么公式?朝著什么方向?變形到什么樣的程度?其實解三角題的關鍵是要把已知和所求盡快掛鉤，但解題者心里要有定位，也就是說什么樣題型 要變到什么樣的方向.本文以近二年高考試題為載體，來談談三角恒等變形的變形方向及三角復習中的學生思維引導.

一、關注已知條件中的角和所求角的關系

有的三角求值題和三角證明題，角度的關系分析好了，這個題目也就解好了.

例1 (2007#8226;四川)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，且0<β<α<π2.

(1)求tan2α的值；

(2)求β.

分析：(1)已知的是α角的余弦，所求的是2α角的正切，只需把2α角向α角轉化即可；(2)已知條件中的角為α、α-β，所求的是β角，把已知和所求掛鉤，把β角看成是已知二角的差角，即β=α-(α-β)，問題就可解決.

解：(1)tanα=43，tan2α=2tanα1-tan2α=-8347.

(2)∵0<α-β<π2，∴sin(α-β)=3314，sinα=437，cosβ=cos［α-(α-β)］=cosα#8226;cos(α-β)+sinαsin(α-β)=12，∴β=π3.

例2 (2008#8226;浙江)若cosα+2sinα=-5，則tanα=().

A.12 B.2 C.-12 D.-2

分析：大多數同學會選擇cosα+2sinα=-5與sin2α+cos2α=1聯立方程組解出sinα=-25，cosα=-15，從而求出tanα=2.

其實，本題也可通過輔助角公式合并，然后拆角的方法求得.

解：由cosα+2sinα=-55sin(α+φ)=-5，其中sinφ=15，cosφ=25sin(α+φ)=-1cos(α+φ)=0.則sinα=sin［(α+φ)-φ］=sin(α+φ)cosφ-cos(α+φ)sinφ=-25，cosα=cos［(α+φ)-φ］=cos(α+φ)#8226;cosφ+sin(α+φ)sinφ=-15，∴tanα=2.

二、化成一角一函數一次的形式

若題目中涉及到周期、單調性、對稱性等，則需把函數化成一角一函數一次的形式.

基本模型：

模型(1)f(x)=asinxcosx=12asin2x;

模型(2)f(x)=asinωx+bcosωx=a2+b2sin(ωx+φ)，其中φ角終邊上有一個點(a，b)；

模型(3)f(x)=asin2x+bsinxcosx+ccos2x=b2sin2x+c-a2cos2x+a+c2，即為以上(2)的模型.

例3 (2008#8226;北京)已知f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)的最小正周期為π.

(1)求ω的值；

(2)求函數f(x)在區間［0，2π3］上的取值范圍.

分析：題目中涉及到周期，則需通過降冪、合并化成一角一函數一次的形式.本題為以上模型(3).

解：f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)=sin(2ωx-π6)+12.

(1)T=2π2ω=πω=1.

(2)f(x)=sin(2x-π6)+12.由0≤x≤2π3，得0≤f(x)≤32.

例4 已知函數f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π，ω>0)為偶函數，且函數y=f(x)圖像兩相鄰對稱軸間的距離為π2.

(1)求f(π8)的值；

(2)將函數y=f(x)的圖像向右平移π6個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g(x)的圖像，求g(x)的單調遞減區間.

分析：函數y=f(x)圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為半個周期，牽涉到周期即需把函數化成一角一函數形式.

解：(1)f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-π6)，由題意得T=2πω=2×π2ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ-π6).∵f(x)為偶函數，所以對x∈R，f(-x)=f(x)恒成立.∴2sin(-2x+φ-π6)=2sin(2x+φ-π6)對x∈R恒成立.兩角和與差的正弦展開整理得sin2xcos(φ-π6)=0對x∈R恒成立.∴cos(φ-π6)=0φ-π6=π2+kπ，k∈Z.又因為0<φ<πφ-π6=π2，∴f(x)=

2sin(2x+π2)=2cos2x，因此f(π8)=2cosπ4=2.

(2)將f(x)的圖像向右平移π6個單位后，得到f(x-π6)的圖像，再將所得圖像橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到f(x4-π6)的圖像.所以g(x)=f(x4-π6)=2cos［2#8226;(x4-π6)］=2cos(x2-π3).當2kπ≤x2-π3≤2kπ+π(k∈Z)，即4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z)，時，g(x)單調遞減，因此g(x)的單調遞減區間為［4kπ+2π3，4kπ+8π3］(k∈Z).

三、化成一元二次函數形式

求三角函數的最值問題，常化成一角一函數一次的形式或一元二次函數的形式.

例5 (2008#8226;四川)求函數y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.

分析：通過降冪、合并可化成一元二次函數的形式.

解：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-4sinxcosx+4cos2xsin2x=(sin2x-1)2+6，當sin2x=1時，ymin=6，當sin2x=-1時，ymax=10.