在立體圖形中透視平面軌跡問題

為引導中學數學教學關注教學本質，減少程序化的大運動量訓練，切實減輕學生的學業負擔，高考命題一般從以下三方面進行設計：考查數學主體內容，體現數學素質的試題；反映數形運動變化的試題；研究型、探索型、開放型的試題.在立體幾何與解析幾何的知識交匯處設計的運動變化型試題，立意新穎，符合高考命題意圖.本文對各地高考試題(或模擬試題)的相關問題進行整理，以利學生高考復習.

一、直線型軌跡

例1 已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點M是棱CD的中點，點O是側面AA1D1D的中心，若點P在側面B1C及其邊界上運動，并且保持OP⊥AM，則動點P的軌跡是.

分析：先探索特殊點，若點P在面BB1C1C中心，若點P在C1點、B1點等，這樣可大致知點P須在線段BB1上.以下為證明：將O，P分別投影到平面ABCD上，則O的投影O1為AD中點，P的投影P1在邊BC上，因為OP⊥AM，故由線面垂直知O1P1⊥AM，易知當P1與B點重合時，O1P1⊥AM，即P在平面ABCD內的射影為B，于是點P的軌跡為線段BB1.

二、圓錐曲線型軌跡

例2 設異面直線a，b成90°角，它們的公垂線段為EF，且|EF|=2，線段AB的長為4，兩端點A、B分別在直線a，b上移動，則AB的中點P的軌跡所在的曲線為().

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

分析1：(幾何法)首先AB中點P的軌跡必在EF中垂面上(易證△APC≌△BPD)，CD=PC+PD=23，在直角△COD中，斜邊上的中線OP=12CD= 3，所以AB的中點P的軌跡為以O為圓心以3為半徑的圓，故選A.

分析2：(構造法)構造一個如圖3的長方體，已知EF=2，A，B兩點分別在直線EA1和FB1上運動，且AB=4.建立如圖3的空間直角坐標系，則A(a，0，2)，B(0，c，0)，設P(x，y， z)，所以2x=a

2y=b

z=1(*)因為z=1，所以點P的軌跡在EF中垂面上，又AB2=a2+b2+4=16，將(*)式代入上式得x2+y2=3，故選A.

分析3：(向量法)AB=AE+EF+FB，兩邊平方得|AE|2+|FB|2=12(*)，又OP=12(EA+FB)，兩邊平方結合(*)式得|OP|2=3，所以AB的中點P的軌跡為以O為圓心以3為半徑的圓.故選A.

分析4：(平面坐標系法)在異面直線a，b中垂面內，以EF中點O為坐標原點，以∠COD的角平分線為x軸建立直角坐標系(如圖5).則C(a，a)，D(b，-b)，設P(x，y)，CD2=(a-b)2+(a+b)2=(23)2=12(1)，∵a+b=2x，a-b=2y，代入(1)式得：x2+y2=3.故選A.

變式 設異面直線a，b成60°角，它們的公垂線段為EF，且|EF|=2，線段AB的長為4，兩端點A、B分別在直線a，b上移動，則AB的中點P的軌跡所在的曲線為().

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

分析：在異面直線a，b中垂面內，以EF中點O為坐標原點，以∠COD的角平分線為x軸建立直角坐標系(如圖6).C(a，33a)，D(b，

-33b)，P(x，y)，CD2=(a-b)2+(33a+33b)2=(23)2=12(1)，∵a+b=2x，∴33a-33b=2y，代入(1)式得x29+y2=1①.于是得到的是橢圓①夾在∠COD內的弧，在另外的情形中，同樣可以得到橢圓其余的弧，故選B.

拓展 當異面直線a，b成θ(θ≠π2)角，它們的公垂線段為EF，且|EF|=2，線段AB的長為4，兩端點A、B分別在直線a，b上移動，則AB的中點P的軌跡所在的曲線都為橢圓.

三、球面

例3 已知P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上的動點，且AP=2，則動點P的軌跡的長度是().

A.32 B.62 C.3π2 D.3π

分析：因AP=2，故點P不可能在過A的三個表面上(除頂點)，若P在A1B1C1D1上，則A1P=AP2-AA12=1，故P在平面A1B1C1D1內的軌跡是以A1為圓心以1為半徑的圓在平面A1B1C1D1內的一部分，即14圓周長為π2.同理點P在面B1C及CD1內的軌跡長都為π2，故選C.我們不難發現實質上是以A為球心，以2為半徑的球被三個平面所截得的弧長(如圖7).

變式1 已知P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上的動點，且AP=233，則動點P的軌跡的長度是().

A.23π3 B.53π6 C.23π D.43π

分析：當P點在面AD1內時，因1<|PA|<|AD1|=2，所以P點在面AD1內的軌跡是以A為圓心，233為半徑的一段圓弧P1P2；當P點在面A1C1內時，點P的軌跡是以A1為圓心，以A1P=|AP|2-|AA1|2=33為半徑的圓弧P2P3.由對稱性知點P在正方體的表面形成的軌跡是封閉曲線P1P2P3P4P5P6P1(如圖8).所以軌跡的長度為3×(233×π6)+3×(33×π2)=536π，故選B.

變式2 已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，P是底面A1C1內的一個動點，Q為棱AA1上的一個動點，且QP=2，則PQ中點M的軌跡與共一頂點A1的三個面所圍成的幾何體的體積為().

A.224π B.212π C.23π D.26π

分析：易知QPA1為直角三角形，所以A1M=|PQ|2=22，所以M的軌跡是以A1為球心，22為半徑的球，而與共一頂點A1的三個面所圍成的幾何體的體積為球體積的18，故選A.

上述例題在立體幾何和解析幾何知識交匯點上命題，立意較新穎，重視知識的交叉、滲透，強化知識的橫向聯系，突出對能力的考察，題目構思精妙，富有思考性，培養學生善于把空間圖形轉化為平面圖形，以及平面圖形作合理的變換想象成空間圖形的能力，有利于培養學生綜合運用知識的能力，也有利于培養學生的創新意識，使所學知識得以升華.

參考文獻

［1］各地高考卷和模擬卷，其中例3的變式1是2007年全國高中數學聯賽填空題第9題.