淺談數學直覺思維能力

李偉賢 侯亞林

中學數學教學大綱(試驗修訂本)將培養學生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力” ,雖然只是去掉兩個字,概念的內涵卻更加豐富,人們在教育實踐中實現了認識上的轉變。在注重邏輯思維能力培養的同時,還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是由于直覺思維能力的培養,長期得不到重視,學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解,認為數學是枯燥乏味的;同時對數學的學習也缺乏取得成功的必要的信心,從而喪失數學學習的興趣。

因此,我們在數學教學中要重視并加強學生數學直覺思維能力的訓練,培養學生的創新思維習慣和直覺思維能力以適應新時期社會對人才的需要。本文概括了數學直覺思維的涵義、表現形式、特征及其對數學學習和教學的意義,結合自己的學習實踐以及有關學習理論和教學理論,對數學直覺思維的培養途徑進行了初步探討,并指出了直覺思維的局限,希望能為直覺思維在數學學習中作用的進一步研究提供一點參考。

一、數學直覺思維概念的界定

(一)數學直覺思維概念

在日常的數學教學中,我們常常會遇到這樣的情形:在課堂上題目剛剛寫完,老師還沒來得及解釋題意,有的同學立刻報出了答案。若進一步問他為什么?他說不出思維過程,此時其他同學會笑他瞎猜。這種現象就是數學直覺思維。這種思維活動不同于一般的邏輯思維推理,這種覺察往往是“知其然而不知其所以然”,盡管判斷的結論往往是正確的,卻不能馬上說出理由和依據。我們把這種具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的敏銳的想象和迅速的判斷稱之為數學直覺思維。

簡單地說,數學直覺思維是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。它沒有明顯的根據和思索的步驟,思維者很難陳述思維的出現過程及證明過程。

(二)數學直覺思維和邏輯思維關系

從思維方式上來看,思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來,其實這是一種誤解,邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹,而直觀重于分析,從側重角度來看,此話不無道理,但側重并不等于完全,數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西,人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺,甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映,它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現,再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺,數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展,問題解決也離不開直覺,下面我們就以數學問題的證明為例,來考察直覺在證明過程中所起的作用。

二、數學直覺思維在數學學習中的作用

由于直覺思維具有上述這些其他思維方式無法比擬的特點,使它在人的認識活動中具有重要作用。

(一)在數學理解中的作用

數學理解包括理解數學概念、數學結論的本質,人們常憑借經驗,加上直覺思維的輔助作用,在頭腦中構造圖景和模型,以達到對概念、結論的理解。

所有數學定理都需要經過嚴格的推理證明,可是只有在借助于直覺思維進行感悟后,才能成為顯然的、直觀的數學事實。

(二)在數學問題解決中的作用

普通高中數學課程標準明確要求:提高學生數學解決問題的能力。數學直覺思維在問題解決中有重要的作用,我們面臨的要解決的許多數學問題,大都是不熟的,剛一接觸,首先看到或想到的只是它的直觀形象與個別特征,如圖形、式子或其含義的直觀類比,利用直觀模型和空間圖形對它進行直覺的思考,從數與形的直覺感知中得到某種猜想,然后再進行邏輯證明。

1、觀察全局

由于直覺思維是從整體上研究對象,因此可以提高學生全面把握問題的能力。教師在教學中只要有意識地安排一些思考性問題,讓學生仔細地審查問題條件的各個方面,從各個角度去揭示知識的內容,就可以培養學生觀察全局的能力。從整體上把握事物的特性,通過這樣的訓練,能不斷提高學生觀察全局的能力。

2、啟迪思路

解決數學問題常常會遇到難題,常規的解題方法多次嘗試后不得其解或分析思路阻塞、中斷時,直覺思維常常能突發其想,啟迪新思路。

布魯納說過: “直覺思維者甚至可以發明或發現分析家所不能發現的問題。”直覺思維與分析思維不同, 分析思維步驟明顯,一次前進一步,思維者常常能向別人講述思維過程。直覺思維不是以仔細的、規定好的步驟一步一步前進的,而是以熟悉的知識結構為依據,采取跳躍、越級的“捷徑”很快作出“結論” 。教師要鼓勵學生用多種思維方式思考問題,提倡“算法多樣化”和“解題策略的多樣化”,以此培養與激發學生的創造力。因在教學過程中,教師要善于抓住和發現學生瞬間的“直覺思維”火花,除了及時鼓勵與肯定之外,更應引導學生一起探究其直覺思維結果的正確性,并合理引導和努力拓展學生的巧思妙解,使學生敢于求異、善于創新。

三、數學直覺思維能力的培養

(一)夯實基礎,豐富直覺思維源泉

任何數學直覺的產生和發展都離不開該領域的基礎知識。沒有一定的知識情景、知識結構、認知策略,單憑機遇是不能產生數學直覺的。有扎實而寬厚的知識與經驗,以及熟練的基本技能,經過同化(順應)重構等加工手段儲存在大腦信息網絡里的知識結構,是直覺思維產生的基礎。在教學過程中,應引導學生認真學習基礎知識、基本技能,加強思想方法的積累,儲存經過處理的知識精華。如對數學概念、定理的本質理解,對數學公式變換的多種形式,解決數學問題的思路,特殊的解題技巧等。以便學生在解決問題時,能運用已有的數學知識與經驗,通過對數學問題的觀察、分析,迅速而準確地作出直覺判斷。

(二)感受數學美,激發直覺思維動力

偉大的科學家龐加萊指出:“能夠作出數學發現的人,是具有感受數學中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘之美能力的人,而且只限于這種人”。數學美充滿了整個數學領域,而這些數學美是引起數學直覺的動力,是產生數學直覺的重要條件。我們在教學實踐中應充分展現數學美,挖掘數學美和創造數學美,激發學生對數學美的追求,提高他們對數學美的鑒賞能力,引導學生按照美的規律去想象、去判斷。

(三)培養敏銳的觀察能力

觀察是一種有目的、有計劃的比較持久的直覺,是知覺的特殊形式。它是處理復雜事物的感知活動,具有更大的主動性和理解性。具有敏銳的洞察力,可以使學生更容易獲取外界的刺激,從而使潛意識層面上的各種混沌無序的知識,在一瞬間達到最恰當的組合,進入顯意識狀態,即直覺的產生。

1、利用形數結合,培養學生的觀察能力

數學形象直感是數學直覺思維的源泉之一,而數學形象直感是一種幾何直覺或空間觀念的表現。俗話說:“數離形時少直觀,形離數時難入微” 。因此,在數學教學中,要引導學生通過深入的觀察、聯想,由形思數、由數輔形,借助圖形特征的啟示誘發直覺,對培養直覺思維的敏捷性、準確性大有裨益。

著名數學家歐拉曾經指出:“今天人們所知道的數的性質,幾乎都是由觀察所發現的,并且在嚴格論證確認其真實性之前就發現了。”蘇聯教育學家蘇霍姆林斯基也說過:“觀察是智慧最重要的能源” 。由此可見,觀察發現對培養直覺思維所起的作用。在數學教學過程中,要充分利用形數結合,讓學生觀察,讓學生發現,提高學生的直覺思維能力。

2、通過分析數學問題的各種信息,培養學生的觀察能力

觀察本身就是一種解題方法。對某些數學問題,通過觀察題設和題斷的結構、圖形的變化規律、題目所給出的數據關系等顯信息以及問題所聯系的背景知識和隱含條件等隱信息,有利于洞悉數量關系和結構關系,進行跳躍性思維、縮簡某些推理環節,增強直覺意識,提高直覺思維能力。

(四)設置情境,創造直覺思維環境

任何直覺只有在一定的情境下才能觸發產生。因此我們在教學中應有意選擇一些有誘發學生產生直覺思維的數學材料讓學生思考,啟發學生善于抓住事物的本質及其內在聯系,進行直覺思維。另外,教師應該在課堂教學中明確提出為直覺思維正名,肯定其作用和地位。對于學生的大膽猜想給予充分肯定,對其合理成分及時給予鼓勵,愛護、扶植學生的自發性直覺思維,為學生創造一個良好的直覺思維環境,隨著時間的推移,一定會產生群體效應,這樣對滲透直覺觀念與思維能力的發展大有裨益。

(五)數形結合,誘導直覺思維動機

著名數學家華羅庚曾經說過:“數缺形時少直覺,形少數時難入微。數形結合百般好,隔裂分家萬事非”,這說明數離不開形。在解題時,若能構造出恰當的幾何圖形常常能得出令人拍案稱奇的巧妙解法,而且數形結合也是誘導學生數學直覺思維動機的一個極好的切入點。

(六)鼓勵猜想,培養直覺思維信心

著名科學家牛頓所說:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發現”。新課程理念鼓勵創新,要求學生能收集、選擇、處理數學信息,并作出合理的推斷和大膽的猜想。合理、科學的猜想是直覺思維的重要形式,也是科學發現的重要途徑。我們在數學教學中,要根據教材編寫的特點和學生的認識規律,引導學生開動腦筋。

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(作者簡介:李偉賢(1988.1)女,漢族,河南省衛輝市人,黃淮學院數學科學系數學與應用數學專業。)