形式邏輯排中律在高等數學教學中的體現

摘要排中律是數學證明中反證法的邏輯基礎，本文通過比較反證法和構造法兩種不同的證明方法，闡述了形式邏輯排中律在反證法中所起到的基礎作用。

關鍵詞排中律 反證法 構造法

中圖分類號:G642文獻標識碼:A

形式邏輯( formal logic)是一門以思維形式及其規律為主要研究對象，同時也涉及一些簡單的邏輯方法的科學。聯合國教科文組織的一份報告指出，一次由50個國家500位教育家列出的162項最重要的教育目標中，把發展學生的邏輯思維能力列為第二位。發展學生的邏輯思維能力，就要大力加強邏輯教育。在大學教育中，也就要廣泛開展邏輯素質教育。

1 形式邏輯的基本規律

形式邏輯提出了許多關于思維形式的規律，其中同一律、矛盾律、排中律與充足理由律是形式邏輯的基本規律。

同一律:如果一個思想反映某客觀對象，那么它就反映這個客觀對象;如果一個思想是真的，那么它就是真的;如果它是假的，那么它就是假的。它的表達式是:“就是”。

矛盾律:一個思想不能既反映某客觀對象而又不反映這個客觀對象;一個思想不能既是真的又是假的。它的表達式是:“不是”。

排中律:一個思想或者反映某客觀對象或者不反映這個客觀對象;一個思想或者是真的，或者是假的。它的表達式是:“或者或者”。

充足理由律:同一對象在同一時間內同一條件下之所以具有某同一性質， 是具有充分的根據。這種充分根據一經出現， 該性質也一定出現，但它要求人們在思維或論證過程中不能使用謊言和未經證實的東西，也不能把謬論和偏見作為理由或根據，更不能詭辯。它的表達式是:“所以有B，是因為有A”或“B真，因為A真，并且A能推出B”。

2 排中律在高等數學教學中的體現

形式邏輯的排中律是數學證明中反證法的邏輯根據。當我們在對命題進行正面證明感到困難時，就可以換個思維角度，只要證明與具有矛盾關系的另一命題為假，就可以根據排中律推出為真。

例1 若數列收斂，則其極限必唯一。

證明: (反證法)假設有兩個不相等的數與，使得=，=同時成立。不妨設，取，由=，必存在自然數，當時，總有:||;又由=，必存在自然數，當時，總有:||，取max，則當時，就有:

||||||

這個矛盾說明，收斂數列的極限是唯一的。

例2 實系數二次方程當時，至少有一個實數根。

證明:(反證法)設沒有實數根，從而就有恒不為零。又因為是的連續函數，所以對所有的，或者。

根據命題的條件:，有:。由于沒有實數根，從而必須是恒為負的。

另一方面，對給定的實數，當的絕對值充分大時，||，因此當的絕對值很大時，又有，從而導出矛盾。這個矛盾是由假設方程沒有實數根引起的，從而就有方程至少有一個實數根。

例1和例2給出的證明方法都是非構造性的證明方法，這種方法能成立需要建立在排中律基礎之上，即在相應的形式系統中，排中律必須是這個形式系統的公理。這里提到形式系統，就有必要介紹一下數理邏輯。數理邏輯是近三百年，特別是近百年才發展起來的一門科學。它是用數學的方法來研究形式邏輯中的某些問題，是數學的一個分支，其研究對象是對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以后的形式系統。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺少的組成部分，現代意義上的邏輯科學是以數理邏輯為基本內容的。

數學家布勞威爾懷疑排中律的有效性，從而將排中律從形式系統的公理中排除，建立了直覺邏輯，他強調數學直覺，堅持認為數學對象必須是可以構造的。在這樣的形式系統中，證明的方法必須是構造性的證明方法，像反證法這樣的非構造性的證明方法是無效的。下面我們給出例2的構造性證明。

例3 實系數二次方程當時，至少有一個實數根。

證明:(構造性證明)對任意和，由

因此，當且僅當時，是方程的根，即

根據條件:，所以將上式兩邊開方，(下轉第32頁)(上接第26頁)就有:，這就證明了方程實系數二次方程當時，至少有一個實數根，并且我們可以根據，求出方程的實數根。

例2和例3是對同一問題兩種不同的證明方法，但這兩種證明方法的背后卻是形式邏輯排中律的不同體現，反證法需要認同排中律，而構造性證明的方法則沒有這個要求，在實際的教學中注意到上述兩種方法的本質區別是非常有益的。構造法在數學證明方法中是一個重要的方法，但是給出一個命題的構造性證明并非像例2那樣簡單，比如給出例1的構造性證明就不是一件容易的事情。

3 小結

本文通過比較反證法和構造法兩種不同的證明方法，闡述了形式邏輯排中律在反證法所起到的基礎作用。在實際教學注意到上述兩種方法所涉及的邏輯基礎，對培養學生嚴密的邏輯思維能力和形式推理能力是很有好處的。

參考文獻

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