基于copula的投資組合選擇模型的研究

摘要:本文首先介紹了投資組合理論與copula，然后給出基于概率 的收益率等定義，建立基于概率 的收益率的投資組合選擇模型并給出具體解法，接著通過選取上證領(lǐng)先指數(shù)與深證領(lǐng)先指數(shù)2004年9月1日至2006年5月26日的日收盤數(shù)據(jù)進行實證分析，發(fā)現(xiàn)在收益率(基于概率的收益率)一定的情況下，通過投資組合可以降低風(fēng)險。

關(guān)鍵詞:PVar;VAR;Copula;投資組合

Abstract:Theories of investment portfolio and copula are introduced at first，then some return definitions based on probability are advanced and investment portfolio selection model which is based on the definition of yield based on probability are established. Detailed solution to the model is offered afterward. In the third and fourth part of the paper demonstration analysis and conclusion are advanced.

Key Words:PVar，VaR，Copula，Investment Portfolio

中圖分類號:F830文獻標(biāo)識碼:B文章編號:1674-2265(2009)02-0056-04

一、引言

自從華爾街第一次革命——Markowitz投資組合理論問世以來，關(guān)于投資組合選擇的研究一直是研究的熱點，Markowitz投資組合理論也被廣泛地應(yīng)用于各種投資實踐。但是由于Markowitz假設(shè)各種證券的收益服從維納過程，這一假設(shè)限制了其適用的范圍。現(xiàn)實生活中，各種相關(guān)變量的邊緣分布往往不服從維納過程;即使有些變量服從維納過程，但其聯(lián)合分布也不一定服從維納過程，因此怎樣在已知各變量的邊緣分布的基礎(chǔ)上確定聯(lián)合分布，使得該聯(lián)合分布從結(jié)構(gòu)上能較好地擬合隨機向量的聯(lián)合分布，描述他們的相依性，這是一個新的研究熱點。1983年Schweizer和Sklar提出的copula連接函數(shù)理論能較好地解決這一問題，因此國內(nèi)外學(xué)者對copula理論的研究表現(xiàn)出濃厚的興趣并將其用于金融研究分析。吳振翔博士(2004)等在基于copula的外匯投資組合風(fēng)險分析中通過copula工具，確定了兩種外匯最小風(fēng)險投資組合，但在該文中僅僅考慮風(fēng)險，未考慮收益率。

在日常投資活動中，投資者在進行投資時，往往考慮的不僅僅是風(fēng)險是否在其能承受的范圍內(nèi)，而且要看該項投資的收益率是否達到其目標(biāo)收益率的最低水平。本文在吳振翔博士研究的基礎(chǔ)上，將風(fēng)險和收益率結(jié)合起來，考慮投資組合的選擇問題。

二、兼顧風(fēng)險與收益率的投資組合選擇模型

本文的收益率采用計算，顯然 (固定時間)為一隨機變量。在以往某種證券收益率的度量中，一般采用收益率的期望來度量，而對收益率期望的估計，一般采用算術(shù)平均。在給定收益率的邊緣分布的前提下，收益大于等于期望收益率的概率是一個定值，例如， ，， 的密度函數(shù)

是一個鐘形，且關(guān)于對稱，則

但在現(xiàn)實生活中，人們在進行某項投資時，往往兼顧收益率和與收益率相關(guān)的概率，因此，我們給出關(guān)于收益率的另一定義:

定義1:為某種證券或投資組合的收益率，只有當(dāng) ( 、為常數(shù))時某投資者才愿意投資該種證券，則稱 是基于概率的收益率，用表示。一般情況下，假設(shè) 。

當(dāng)然，給定，滿足的 往往不止一個，對應(yīng)的投資選擇也不止一個。在滿足

的中有一個最大值，即 存在上確界，記為 。當(dāng)然， 不存在下確界，因為 恒成立。

性質(zhì)1.1 設(shè) 中 的上確界為 ，則

性質(zhì)1.2 設(shè) 中 的上確界為，則是

的單調(diào)減函數(shù)。

在大多數(shù)情況下，人們還會考慮該種證券的風(fēng)險，風(fēng)險在這里用(Value at Risk)來表示。用

來度量風(fēng)險時為正數(shù)，在求時首先要將收益化為損失，即取收益率的相反數(shù)，用起來不大方便，因此在本文中不予采用，類似于 定義，我們給出

的定義如下:

定義2:為某種證券或投資組合的收益率，只有當(dāng) (、 為常數(shù))時，某投資者才愿意投資該種證券，則稱是該種證券基于概率的風(fēng)險，用 表示。一般情況下，假設(shè) 。

同樣，給定，滿足 的 往往不止一個，那么在滿足的 中有一個最大值，即存在上確界，記為 。當(dāng)然， 不存在下確界，因為

恒成立。

注意，定義2中的 與通常定義在置信度 下的 并不相同，置信度下的的相反數(shù)是

的上界。顯然，用 度量的風(fēng)險與 成反比，

越大，風(fēng)險越小。

性質(zhì)2.1 設(shè)中 的上確界為，則。

性質(zhì)2.2 設(shè) 中的上確界為 ，則是的單調(diào)增函數(shù)。

人們在選擇投資時，往往同時考慮收益率與風(fēng)險，因此結(jié)合收益率與風(fēng)險給出如下定義:

定義3:為某種證券或投資組合的收益率，只有當(dāng) 且 (、、、

為常數(shù))同時成立時，某投資者才愿意投資該種證券，則稱是基于概率且基于概率的風(fēng)險不超過 的收益率，記為 。在一般情況下，其中的最大損失不超過收益，因此設(shè)

性質(zhì)3.1 如果，則中的

、 滿足。

設(shè) ， ，其中，表示投資在證券上的份額。人們在選擇投資組合時，往往在給定三個參數(shù)的情況下，使得另一個參數(shù)最大或者最小以達到最優(yōu)，例如，在給定 的前提條件下，使得最大損失越小越好，即越大越好，因此在不允許賣空的前提條件下，建立如下模型:

滿足以上四個約束條件的投資組合 往往不止一個，也有可能一個也沒有。在存在滿足四個約束條件的投資組合的前提條件下，該模型表示，應(yīng)從滿足四個約束條件的投資組合 中選取一個最大，即使得最大損失最小的投資組合。同理也可建立以為目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)模型，但對所有模型，都有以下結(jié)論成立:

定理1:在給定的前提條件下， 是 的單調(diào)增函數(shù)。

定理2:在給定的前提條件下，是的單調(diào)減函數(shù);在給定 的前提條件下， 是

的單調(diào)減函數(shù)。

三、copula函數(shù)的簡單介紹以及投資組合選擇模型的求解

模型 中用到 以及 ，因此必須知道的聯(lián)合分布，因此問題的第一步運用copula函數(shù)來擬合的聯(lián)合分布函數(shù)。

(一)copula函數(shù)的簡單介紹

設(shè)隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)為

，邊緣分布函數(shù)分別為

則一定存在連接函數(shù)(Sklar定理，Neslon(1999)，定理2.3.3)，使得

則稱 為對應(yīng)分布下的copula。如果

為連續(xù)函數(shù)，則唯一確定，

是一個 維[0，1]空間上具有[0，1]均勻邊緣分布的維分布函數(shù)。在本文中用到的copula函數(shù)為:Gumbel-Houguard family copula

當(dāng) 時，對應(yīng)的隨機向量相互獨立，當(dāng) 時導(dǎo)致完全相依。

(二)投資組合選擇模型的求解

我們僅討論時模型 的求解問題。由于Gumbel-Houguard family copula所構(gòu)造的2維聯(lián)合函數(shù)十分復(fù)雜，因此，求模型的解析解是不可能的。在此我們用蒙特卡洛方法來進行求解。

第一步:抽取樣本數(shù)據(jù)對 ;

第二步:按如下方法確定隨機向量的邊緣經(jīng)驗分布和 ;

將樣本 按遞增的順序排列，得到

，設(shè)，

，令，則連續(xù)型經(jīng)驗分布函數(shù)定義如下:

第三步:確定copula函數(shù)中的相關(guān)參數(shù)(可用Genest和Rivest的非參數(shù)方法或極大似然法)。

第四步:應(yīng)用Splus 6.0產(chǎn)生基于第三步產(chǎn)生的copula函數(shù)的對，令得到樣本對 。

第五步:將樣本對代入 中(1)式求解出所有滿足(1)(3)的，對滿足(1)(3)(4)的

反解出滿足(2)的，從中選擇出最大的

即為所求，其對應(yīng)的即為所求的最優(yōu)投資組合。

四、實證研究

首先，按第一步選取上證領(lǐng)先指數(shù)與深證領(lǐng)先指數(shù)2004年9月1日至2006年5月26日的日收盤數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來自大智慧行情系統(tǒng))，代入公式 ，

求出樣本數(shù)據(jù)并將同一天的數(shù)據(jù)形成收益率對

()，上證領(lǐng)先指數(shù)的收益率用表示，深證領(lǐng)先指數(shù)的收益率用表示，將收益率對

()和 =414代入如下公式:

其中為符號函數(shù)， ，估計出樣本數(shù)據(jù)對 的Kendall秩相關(guān)系數(shù) ，得出 。

然后，按第二步求邊緣分布的方法確定隨機向量 的邊緣經(jīng)驗分布 和，選定copula函數(shù)為，用Genest和Rivest的非參數(shù)方法來估計，即通過解方程

來估計，其中是copula函數(shù)的生成元。通過計算得 ，從Q-Q圖(見圖1)來看，模型擬合得很好，這樣就完成了第三步。

第四步:應(yīng)用Splus 6.0產(chǎn)生基于copula函數(shù)

的

偽隨機數(shù)對2000個，代入公式

得到樣本對 。

第五步:選取 ，通過選取不同的 ，將樣本對代入模型 求解最優(yōu)投資組合

以及相對應(yīng)的 ，搜索步長為0.005時結(jié)果見表1(圖2)，從中我們可以得出如下結(jié)論:

1. 從圖2可以看出在 以及搜索步長為0.005的條件下，當(dāng)在區(qū)間[0.005%，0.024%]取值時，對應(yīng)的最優(yōu)投資組合皆為(0.625，0.375)，也就是說將資金的62.5%投資在上證領(lǐng)先指數(shù)，將資金的37.5% 投資在深證領(lǐng)先指數(shù)，對應(yīng)的風(fēng)險皆為

-1.708048709%; 在其他區(qū)間也有相同的性質(zhì)，由模型導(dǎo)出的收益率與風(fēng)險圖由若干跳躍且平行于

的線段組成;結(jié)合表1可以得出，當(dāng) 在區(qū)間[0.005%，0.0995%]取值時，可將該區(qū)間分成19個小區(qū)間，各個小區(qū)間之間的 不同，而各個小區(qū)間內(nèi)的相同。導(dǎo)致上述性質(zhì)主要原因有兩個:第一個原因是偽隨機數(shù)對的個數(shù)僅2000個，數(shù)量沒有達到足夠多;當(dāng)然，解決這一缺點的辦法是增加偽隨機數(shù)對的個數(shù)，但是，計算的復(fù)雜度大大提高;第二個原因是搜索步長為0.005，搜索步長沒有達到足夠小，當(dāng)我們將搜索步長改為0.002時，[0.005%，0.0995%]中 不同的小區(qū)間個數(shù)達到40個，但是搜索時間增加1倍多，克服這一缺點的辦法是縮小搜索步長，但同樣大大提高了計算復(fù)雜度。因此，如果搜索步長足夠短，偽隨機數(shù)對的個數(shù)足夠多，對于不同的 ，對應(yīng)的 不相同的概率也會增大。

2. 隨著收益率的提高， 是減少的，這和前面的定理2是相符的; 減少，意味著與之對應(yīng)的風(fēng)險增大了，這和實際是相符的，人們在選擇收益與風(fēng)險時，不能兩者皆得。

3.隨著 的逐漸增大，投資組合越來越趨向集中于滬市或深市指數(shù)。例如，從表1來看，當(dāng)=0.024%時，對應(yīng)的最優(yōu)投資組合皆為(0.625，0.375)，也就是說將資金的62.5%投資在上證領(lǐng)先指數(shù)，將資金的37.5%投資在深證領(lǐng)先指數(shù);當(dāng) =0.0605%時，對應(yīng)的最優(yōu)投資組合皆為(0.965，0.035)，也就是說將資金的96.5%投資在上證領(lǐng)先指數(shù)，將資金的3.5%投資在深證領(lǐng)先指數(shù)。當(dāng)時，投資在上證領(lǐng)先指數(shù)的比重大于投資在深證領(lǐng)先指數(shù)的比重，是由于在 的置信度水平下，

當(dāng)時，投資在上證領(lǐng)先指數(shù)的比重大大小于投資在深證領(lǐng)先指數(shù)的比重，是由于深證領(lǐng)先指數(shù)的平均收益率為0.072231%，而上證領(lǐng)先指數(shù)的平均收益率小于深證領(lǐng)先指數(shù)的平均收益率，為0.048288%，為了保證模型的條件(1)成立，只有加大投資在深證領(lǐng)先指數(shù)的比重。

4. 在的置信度水平下，從表1可以得出，當(dāng) 時，對應(yīng)的皆大于

;當(dāng)時，對應(yīng)的

皆大于，這說明通過投資組合，可以減少風(fēng)險。

第六步:選取 ，通過選取不同的

，將樣本對代入模型 求解最優(yōu)投資組合 以及相對應(yīng)的 ，搜索步長為0.002時結(jié)果見表2。

從表2可以看出，在 的條件下，隨著 的逐步增大， 是逐步減少的。當(dāng)

時，模型 沒有可行解，也就是說，不存在投資組合 ，使得(1)成立。因此，在不允許賣空的前提下，希望通過在滬深兩市指數(shù)之間選擇投資組合，以套取較大收益率，成功的概率不大。

同樣我們也可得出類似于第五步(3)的結(jié)論。

同樣我們可以固定 ，選取不同的，通過模型 求解最優(yōu)投資組合 以及相對應(yīng)的。

五、總結(jié)

本文根據(jù)給出的基于概率的收益率以及基于概率的風(fēng)險的定義，建立基于風(fēng)險與收益率的投資組合模型并給出具體解法;在具體解法中，為了更好擬合聯(lián)合分布，本文中采用 copula函數(shù)來構(gòu)造多個資產(chǎn)收益率的聯(lián)合分布。通過實證分析，我們發(fā)現(xiàn)在收益率(基于概率 的收益率)一定的情況下，通過投資組合可以降低風(fēng)險。本文所建立的投資組合選擇模型，完全可用于諸如股票、匯率、基金等其他金融產(chǎn)品上。本文投資組合選擇模型的缺點和不足主要體現(xiàn)在模型求解上，在模型求解算法中，計算量較大。

參考文獻:

[1]史道濟:《改進copula對數(shù)據(jù)擬合的方法》，《系統(tǒng)工程理論與實踐》2004年第12期。

[2]汪飛星等:《用改進的蒙特卡洛方法計算Var》，《山東理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》2005年第5期。

[3]吳振翔等:《在基于copula的外匯投資組合風(fēng)險分析》，《中國管理科學(xué)》2004年第12期。

[4]張堯庭:《連接函數(shù)(copula)技術(shù)與金融風(fēng)險分析》，《統(tǒng)計研究》2002年第4期。

(特約編輯 齊稚平)