讓數學語言引領“倍”的數學化提煉

摘 要：荷蘭數學家弗賴登塔爾認為，高效的數學教育要實現橫向數學化和縱向數學化的均衡發展。橫向數學化就是把生活實物世界引向數學符號世界，即把普通語言轉化為數學文字語言的過程；縱向數學化就是在數學世界里，符號生成、重塑和被使用，即符號語言與文字語言互換，文字語言與圖式語言互換，圖式語言與符號語言互換過程。本文以此理論為依據，在“倍”的概念教學中進行了卓有成效的嘗試，對數學概念的數學化教學具有啟迪作用。

關鍵詞：小學數學；倍的意義；數學化

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2009）03-0048-02

北師大版二年級上冊數學“倍的意義”是在學習了平均分與除法的基礎上進行教學的。“倍”既是生活概念，又是數學語言。作為生活概念的“倍”，教材采取不下概括性的定義，而是結合“快樂的動物”具體情境和解決問題的過程，讓學生感受“倍”的意義，體會“倍”與平均分的聯系與區別；作為數學用語的“倍”具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和豐富的內涵，學生認識并理解“倍”需要經歷一個數學化的過程。如何引領學生親身經歷數學化的過程，我采取借助“數學語言”轉換的方法，取得了較好的教學效果。做法如下：

一、引導對話（把生活普通語言轉化為數學文字語言）

普通語言即以普通話為標準的生活語言，它是學生熟悉的。用它表述事物，學生感到親切、容易理解。通過普通語言轉化為文字語言，使抽象的數學語言在現實生活中找到“原型”，從而能透徹理解，運用自如。現行數學教材以反映現實世界的“主題圖”形式來呈現學習素材，體現了“數學源于生活、寓于生活、用于生活”的教育理念。這樣“倍”的教學就需要把生活概念的“倍”轉化為數學語言的“倍”，才能有效地抽象出“倍”這一概念。其教學片段如下：

師：仔細觀察“快樂的動物”這幅圖，先統計猴子和鴨子的只數。

生1：猴子3只。（教師用簡筆畫，在黑板畫了3只猴子）

生2：鴨子6只。（教師用簡筆畫，在黑板3只猴子下面畫了6只鴨子）

師：我們把3只猴子看成l份，鴨子的只數有這樣的幾份？

生：把3只猴子看成l份，鴨子的只數有這樣的2份。

師：你們還能用其他的話，把這個意義說出來嗎？

生l：猴子有3只，鴨子有2個3只。

生2：猴子有3只，鴨子有6只，鴨子只數是猴子的2倍。（教師板書課題：倍的意義）

上述教學片段，我借助簡筆畫實物圖，在生活語言“把3只猴子看成l份，鴨子的只數有這樣的2份”的基礎上提煉出“幾份”、“幾個幾”，再抽象出數學語言“倍”，初步揭示了“倍”的含義，實現了從生活語言“幾份”向數學語言“幾倍”的轉換。

二、引導操作（把數學文字語言轉換為數學圖式語言）

圖式語言是一種視覺語言，以圖形、圖表表示，其特點是直觀，便于觀察與聯想。求倍數關系涉及兩個量之間的比較，通過把文字語言轉換為圖式語言，能夠讓學生直觀明白“倍”是等分活動的擴展。其教學片段如下：

師：繼續統計其他每種動物的只數，大家把統計的結果也像老師這樣表示出來。

生1：我不會畫簡筆畫。

生2：能用其他方法表示嗎？

師：可以用你們自己喜歡的方法表示。

學生動手操作后進行匯報，雖然畫法各異，但基本都是以簡單圖形代替實物：

……

師：你們這樣畫表示什么意思？請具體說明一下。

生l：我們用▲表示猴子，3個猴子為1份：用◆表示鴨子，每份鴨子只數與猴子一樣多，鴨子只數是猴子的2倍。

生2：我們畫的意思是用●●為l份，每份一樣多，小雞只數是松鼠的4倍。

師：你們自己說一句“誰是誰幾倍”的話，并用桌上信封里的圖形或實物（小石子）擺一擺，表示出來。

生1：松鼠的只數是孔雀的2倍。我上行擺了1個，下行擺2個。

生2：小鳥的只數是鴨子的2倍。我上行擺6個，下行擺2個6，共是12個。

生3：小鳥的只數是猴子的4倍。我上行擺3個，下行擺12個，擺成4個3。

生4：小鳥的只數是松鼠的6倍。我上行擺2個，下行擺12個，2個為1份，擺成6份。

……

上述教學片段，我用簡筆畫表示統計結果為借口，故意為難學生，引發了認知沖突，促使學生用更加方便的圖形代替實物簡筆畫，在上述不同的畫法中折射出學生對圖形表示“倍”的不同理解。用▲表示猴子，用◆表小鴨子，去除了具體物的屬性，初步具有圖式意思；用●表示，則完全去除具體物的屬性，只保留兩個數量之間的關系，表現出較高的圖式化水平。將數學文字語言“誰是誰的幾倍”轉化為數學圖式語言，使抽象的數學文字語言形象化，豐富了“倍”的表象，學生通過畫—畫、擺一擺、分一分、說一說等活功，進一步理解了“倍”的意義，拓展了學生對“倍”的本質內涵的理解。

三、引導提煉（數學圖式語言或數學文字語言轉化為數學符號語言）

數學學習就是把圖式語言和文字語言用符號語言表達出來或借助符號語言來思考，數學概念、法則與定理、公式等往往是只用一種數學語言表述的，而學生要真正理解、掌握和運用它們，則必須能靈活運用三種數學語言進行轉換。其教學片段如下：

師：能用比圖形更簡單的方法把統計結果表示出來嗎？

生l：直接用數和算式表示。鴨子只數是猴子的2倍，可以用算式6÷3=2表示。

生2：小雞只數是松鼠的4倍，可以用算式8÷2=4表示。

……

師：繼續統計其他每種動物的只數，直接用數字表示；再自己提出一個可以用除法解決的問題，直接用算式解答。

生l：鴨子6只，松鼠2只，鴨子數是松鼠的幾倍？

6÷2=3。

生2：猴子3只，孔雀1只，猴子數是孔雀的幾倍？

3÷1=3。

師：說一說你為什么用除法解答？

生3：小鳥12只，孔雀l只，小鳥是孔雀的幾倍？就是求12里有幾個1，所以用12÷l=12，求得小鳥是孔雀的12倍。

……

上述教學片段，學生能用除法表示倍數關系，實現了數學圖式語言和數學文字語言向數學符號語言的轉化。

總之，“倍”的教學需要學生經歷數學化過程，數學化提煉需要以數學語言的轉化為載體，數學語言包括文字語言、符號語言和圖式語言。上述“倍的意義”教學，通過生活普通語言向數學文字的轉換，完成了橫向數學化過程；以不同數學語言形態的文字語言與符號語言、文字語言與圖式語言、圖式語言與符號語言之間的相互轉換，完成了縱向數學化過程。這樣，讓學生多角度、多層面理解了“倍”的意義，把握了“倍”的外延和內涵，揭示了“倍”的本質。

參考文獻：

［1］田奇述.有“數學味”的理性思考［J］.湖南教育（教師版），2006，（1）.

［2］陳明端，田奇述.發展學生“數學語言”交流能力的思考［J］.小學教學研究，2005，（12）.

［3］田奇述.試論小學數學人文教育的滲透［J］.教育實踐與研究，2004，（3）.

［4］田奇述.“數學思考”的思考［J］.小學數學參考，2005，（11）.

［5］田奇述.給“數學味兒”把脈［J］.教育實踐與研究，2007，（12）.

【責任編輯 高潔】